[논문 리뷰] On Serre's reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of the Galois group of Q

Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger|arXiv (Cornell University)|2004. 12. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$의 홀수이고 기약인 2차원 모 $p$ 가위군 표현에 대해 최소로 분할된 $p$-진 상승의 존재성을 증명하고, 이러한 상승을 통해 세르의 모듈랑드성 추측을 모듈랑드성 상승 정리로 감소시킨다. 저자는 수준이 낮고 무게가 낮은 경우에 대해 조건 없는 모듈랑드성을 확립하며, 특히 모 23 표현이 라마누잔 $\Delta$-함수에서 유래됨을 보여준다.

ABSTRACT

We first prove the existence of minimally ramified p-adic lifts of 2-dimensional mod p representations, that are odd and irreducible, of the absolute Galois group of Q,in many cases. This is predicted by Serre's conjecture that such representations arise from newforms of optimal level and weight. Using these minimal lifts, and arguments using compatible systems, we prove some cases of Serre's conjectures in low levels and weights. For instance we prove that there are no irreducible (p,p) type group schemes over the rational integers. We prove that a Galois representation as above of Artin conductor 1 and Serre weight 12 arises from the Ramanujan Delta-function. In the last part of the paper we present arguments that reduce Serre's conjecture on modularity of Galois representations as above to proving modularity lifting theorems of the type pioneered by Wiles. While these modularity lifting results are not known as yet they might be relatively accessible because of the basic method of Wiles and Taylor-Wiles and recent developments in the p-adic Langlands programmeinitiated by Breuil.

연구 동기 및 목표

• 홀수이고 기약인 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$의 2차원 모 $p$ 가위군 표현에 대해 최소로 분할된 $p$-진 상승의 존재를 확립하기.
• 이러한 표현에 대해 세르의 모듈랑드성 추측을 일반화된 모듈랑드성 상승 정리의 증명으로 감소시키기.
• 수준이 낮고 무게가 낮은 경우, 특히 수준 1과 세르 무게 12에 대해 세르의 추측을 조건 없이 증명하기.
• $\mathbb{Z}$ 위에 기반한 기약적인 $(p,p)$-형태의 유한 평탄 군 스킴이 존재하지 않음을 보여주기.
• 모듈랑드성 상승 정리가 호환 가능한 체계와 기저 변경을 함께 사용할 경우 잔여 모듈랑드성을 암시함을 보여주어 문제를 알려진 상승 프레임워크로 감소시키기.

제안 방법

• 변형 이론과 최소 변형 링의 유한성 결과를 이용해 모 $p$ 가위군 표현의 최소 $p$-진 상승을 구성하기.
• 데종과 보클레의 영감을 받은 기저 변경 기법을 적용하여 최소 변형 링이 유한하고 평탄한 완전 교차이자 확보됨을 보여 최소 상승의 존재를 확보하기.
• 엄격하게 호환 가능한 가위군 표현 체계를 사용해 한 소수에서의 모듈랑드성을 다른 소수로 전파하고, 분할된 소수에 대한 귀납법을 가능하게 하기.
• 순환적 변형과 호환 가능한 체계의 존재를 활용해 분할을 줄이고 판별자를 단순화하여 귀납적으로 수준 1으로 감소시키기.
• 폰틴, 브룸어, 크라머, 숄프의 군 스킴과 모듈랑드 형식에 관한 결과를 활용해 수준이 낮은 경우의 모듈랑드성을 증명하기.
• $R = T$ 정리와 최근의 $p$-진 랭글랜드스 프로그램의 발전(예: 브뤼엘, 키신)을 활용하여, 무게 2에서 $p+1$ 사이의 모듈랑드성 상승 정리가 세르의 추측을 광범위한 경우에 대해 암시함을 논증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수이고 기약인 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$의 2차원 모 $p$ 가위군 표현에 대해 최소로 분할된 $p$-진 상승을 구성할 수 있는가?
• RQ2 세르의 모듈랑드성 추측은 얼마나 깊이 호환 가능한 체계에 대한 모듈랑드성 상승 정리로 감소될 수 있는가?
• RQ3 수준이 낮고 무게가 낮은 경우, 특히 수준 1과 세르 무게 12에 대해 세르의 추측을 조건 없이 증명할 수 있는가?
• RQ4 기약적인 $(p,p)$-형태의 유한 평탄 군 스킴이 $\mathbb{Z}$ 위에 존재하는가? 이는 모듈랑드성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 호환 가능한 체계의 방법을 사용해 분할을 귀납적으로 제거하고 일반적인 경우를 수준 1의 경우로 감소시킬 수 있는가?

주요 결과

• 홀수이고 기약인 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$의 2차원 모 $p$ 가위군 표현에 대해 최소로 분할된 $p$-진 상승의 존재가 입증되었다.
• 조건 없이 기약적인 $(p,p)$-형태의 유한 평탄 군 스킴이 $\mathbb{Z}$ 위에 존재하지 않음을 증명하였다.
• 세르의 무게 12와 수준 1인 모 $p$ 가위군 표현은 숄프의 결과를 통해 라마누잔 $\Delta$-함수에서 유래됨을 보였다.
• 세르의 추측은 모듈랑드성 상승 정리로 감소된다: $p > 3$ 이면, 임의의 기약적인 모 $p$ 표현이 홀수이고 제곱자유인 판별자에 대해 3과 서로소이며, 세르의 무게 $k \leq p+1$ 또는 $k \leq q_1 + 1$ (여기서 $q_1$은 최소 분할 소수)이면, 상승 정리가 성립한다면 모듈랑드적임이 입증된다.
• 세르의 추측의 수준 1 사례는 무게 2에서 $p+1$ 사이의 반안정 표현에 대한 모듈랑드성 상승 정리로 감소된다.
• 논문은 모듈랑드성 상승 정리가 잔여 모듈랑드성을 가정하더라도 많은 경우에 잔여 모듈랑드성을 암시할 수 있음을 보여주며, 모듈랑드성 논리에서 놀라운 이중성의 존재를 부각시켰다.