[논문 리뷰] On several kinds of sums of balancing numbers

Takao Komatsu, G. K. Panda|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 21.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 밸런싱 수와 루카스-밸런싱 수의 곱의 합을 조사하며, 대칭 합 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r}과 교대 급수를 포함한 역수 합에 대한 닫힌 형태의 항등식을 유도한다. 무한 역수 합의 역수에 대한 유효 함수 항등식을 수립하여, 이는 제곱형식의 수열과 관련된 정확한 정수 값을 드러내며, 루카스-밸런싱 수에 대해서도 유사한 결과를 도출한다.

ABSTRACT

The balancing numbers $B_n$ ($n=0,1,\cdots$) are solutions of the binary recurrence $B_n=6B_{n-1}-B_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $B_0=0$ and $B_1=1$. In this paper we show several relations about the sums of product of two balancing numbers of the type $\sum_{m=0}^n B_{k m+r}B_{k(n-m)+r}$ ($k>r\ge 0$) and the alternating sum of reciprocal of balancing numbers $\left\lfloor\left(\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{B_{l k}} ight)^{-1} ight floor$. Similar results are also obtained for Lucas-balancing numbers $C_n$ ($n=0,1,\cdots$), satisfying the binary recurrence $C_n=6C_{n-1}-C_{n-2}$ ($n\ge 2$) with $C_0=1$ and $C_1=3$. Some binomial sums involving these numbers are also explored.

연구 동기 및 목표

• 대칭 밸런싱 수의 곱에 대한 닫힌 형태의 표현을 유도하는 것, 특히 k > r ≥ 0 조건에서 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r}의 형태로 표현하는 것.
• 밸런싱 수와 루카스-밸런싱 수의 교대 역수 합을 조사하고, 그 역수의 유효 함수 값을 결정하는 것.
• B_n와 동일한 재귀식을 만족하지만 다른 초기 조건을 가진 루카스-밸런싱 수 C_n에 대해 유사한 결과를 확장하는 것.
• 이항계수와 3의 거듭제곱을 포함한 이항 합에 대한 탐구, 특히 이항계수 가중치가 부여된 밸런싱 수와 루카스-밸런싱 수의 합에 대한 항등식을 찾는 것.
• 무한 교대 합의 역수에 대한 정확한 정수 값 항등식을 수립하는 것. 이는 수열의 성질과 생성 함수를 활용하여 수행된다.

제안 방법

• 비네 유형의 공식 사용: B_n = (α^n − β^n)/(4√2) 및 C_n = (α^n + β^n)/2, 여기서 α = 3 + 2√2, β = 3 − 2√2.
• 선형 재귀 항등식의 적용: B_{n±m} = B_n C_m ± B_m C_n 및 C_{n±m} = C_n C_m ± 8B_n B_m.
• 기존의 GCD 및 합동성 성질 활용: gcd(B_m, B_n) = B_{gcd(m,n)} 및 홀수 소수 p에 대해 B_p ≡ (p/8) mod p.
• 생성 함수를 통한 이항합 항등식 유도: (3α − 1)^n = (2√2 α)^n 및 (3β − 1)^n = (−2√2 β)^n.
• 역수 합에 대한 범위와 부등식 유도: 항의 크기 비교 및 단조성, 부호 분석을 활용.
• 유효 함수 항등식 적용: B_n 및 C_n를 포함한 유리식에서의 텔레스코프적 추정과 부호 비교를 통한 접근.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k > r ≥ 0 조건에서 ∑_{m=0}^n B_{km+r}B_{k(n−m)+r}의 닫힌 형태 표현은 무엇인가요?
• RQ2 무한 교대 합 ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k의 역수의 유효 함수는 B_n와 B_{n−1}로 어떻게 표현될 수 있나요?
• RQ3 루카스-밸런싱 수 C_n에 대해 역수 합과 그 역수에 대해 유사한 항등식은 무엇이 있나요?
• RQ4 이항계수 가중치가 부여된 밸런싱 수와 루카스-밸런싱 수의 합은 닫힌 형태로 평가할 수 있나요?
• RQ5 다양한 l과 n에 대해 ⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{lk})^{-1}⌋의 정확한 정수 값은 무엇인가요?

주요 결과

• ∑_{k=0}^{2n}   binom{2n}{k} B_k = 8^n B_n 및 ∑_{k=0}^{2n}   binom{2n}{k} C_k = 8^n C_n로, 이는 이항계수와 함께 지수적 증가를 보여준다.
• 교대 합에 대해서는 ∑_{k=0}^{2n}   binom{2n}{k} (-1)^k B_k = 4^n B_n 및 ∑_{k=0}^{2n}   binom{2n}{k} (-1)^k C_k = 4^n C_n로 표현된다.
• ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k의 역수의 유효 함수는 n 이만큼 짝수일 경우 C_n + C_{n−1} − 1, 홀수일 경우 −(C_n + C_{n−1})이다.
• ∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_k^2의 역수의 유효 함수는 n 이 짝수일 경우 C_n^2 + C_{n−1}^2 − 1, 홀수일 경우 −(C_n^2 + C_{n−1}^2)이다.
• B_{2k}, B_{2k−1}, 그리고 그들의 곱에 대해서도 유사한 항등식이 성립하며, 유효 함수 값은 n의 홀짝성과 수열의 제곱형식에 따라 달라진다.
• ⌊(∑_{k=n}^∞ (−1)^k / B_{2k}^2)^{-1}⌋ = B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2 (n 이 짝수일 경우), −(B_{2n}^2 + B_{2n−2}^2 + 1) (n 이 홀수일 경우)로 정확한 부호와 크기 제어를 통해 확립된다.