[논문 리뷰] On Shapiro's lethargy theorem and some applications

Asuman Güven Aksoy, J. M. Almira|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 14.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비감소 거리 함수를 갖는 F-공간으로 셰파르의 렙타시즘 정리(Shapiro's lethargy theorem)를 확장하여, 온건한 조건 하에서 최적 근사 오차와 연산자 수렴이 임의로 느리게 감쇠할 수 있음을 증명한다. 또한 점별로 수렴하는 연산자 수열이 전사적 또는 범위가 풍부한 연산자로 수렴할 경우, 거의 임의로 느리게 수렴해야 하며, 이는 s-수, 엔트로피 수, 근사 이론에서의 수렴 속도에 응용된다.

ABSTRACT

Shapiro's lethargy theorem states that if {A_n} is any non-trivial linear approximation scheme on a Banach space X, then the sequences of errors of best approximation E(x,A_n) = \inf_{a \in A_n} ||x - a_n||_X decay almost arbitrarily slowly. Recently, Almira and Oikhberg investigated this kind of result for general approximation schemes in the quasi-Banach setting. In this paper, we consider the same question for F-spaces with non decreasing metric d. We also provide applications to the rate of decay of s-numbers, entropy numbers, and slow convergence of sequences of operators.

연구 동기 및 목표

• Banach 공간에서 F-공간으로 셰파르의 렙타시즘 정리를 일반화하는 것.
• quasi-Banach 공간 및 F-공간 설정에서 최적 근사 오차의 느린 감쇠를 조사하는 것.
• 연산자 수열이 한계 연산자로 거의 임의로 느리게 수렴하는 조건을 설정하는 것.
• s-수, 엔트로피 수, 근사 연산자의 수렴 속도에 이 결과를 적용하는 것.
• 함수해석학에서 근사 공간과 연산자 수렴에 대한 함의를 탐색하는 것.

제안 방법

• 이동 불변 거리 함수와 포함관계, 닫힘, 밀도 조건을 만족하는 서브셋의 계열인 (A1)-(A3) 공리계를 활용하여 F-공간 내 근사 체계를 체계화하는 것.
• 비증가하는 영수열 $\{\varepsilon_n\}$의 개념을 사용하여 근사 오차의 거의 임의로 느린 감쇠를 특성화하는 것.
• 일반화된 렙타시즘 정리를 점별로 수렴하는 연산자 수열 $T_n$에 적용하며, $T_n(X) \subseteq A_n$ 조건을 고려하는 것.
• 만약 $T(X) = Y$ 또는 $T(X)$가 무한차원 닫힌 부분공간을 포함한다면, 수렴 $T_n \to T$ 는 거의 임의로 느리게 일어나야 한다는 것을 증명하는 것.
• 알미라와 올리버그의 quasi-Banach 공간 관련 결과를 활용하고, 이를 정리 4.5를 통해 F-공간으로 확장하는 것.
• Lorentz 수열 공간과 근사 공간 $A_p^r(X, \{A_n\})$ 을 사용하여 부드러움과 감쇠 속도 사이의 관계를 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 셰파르의 렙타시즘 정리는 비감소 거리 함수를 갖는 F-공간으로 Banach 공간에서 일반화될 수 있는가?
• RQ2 연산자 수열 $T_n$ 이 점별로 $T$ 로 수렴할 때 어떤 조건에서 거의 임의로 느리게 수렴하는가?
• RQ3 한계 연산자 $T$ 의 범위가 $T_n$ 의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 일반화된 렙타시즘 정리는 s-수와 엔트로피 수에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 이 이론은 게리 알고리즘과 같은 비선형 근사 과정에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• F-공간에서, $\{A_n\}$ 이 셰파르의 정리를 만족하는 근사 체계이면, 최적 근사 오차 $E(x, A_n)$ 는 거의 임의로 느리게 감쇠한다.
• 만약 $T_n \to T$ 가 점별 수렴하고 $T(X) = Y$ 이면, $T_n \to T$ 는 거의 임의로 느리게 수렴하며, 주어진 수렴 속도보다 더 느리게 수렴하는 것이 가능하다.
• 만약 $T(X)$ 가 무한차원 닫힌 부분공간 $Z$ 를 포함하고 $\{A_n\}$ 이 $Z$ 에서 셰파르의 정리를 만족하면, $T_n \to T$ 는 $Z$ 에 대해 거의 임의로 느리게 수렴한다.
• 선형 연산자 $T_n$ 에 대해 $\overline{T_n(X)} \neq Y$ 이고 $T(X)$ 가 $Y$ 의 유한코디멘션 부분공간을 포함하면, 수렴은 거의 임의로 느리게 일어난다.
• 이 결과는 푸아제 및 랑드의 연산자와 같은 고전적 근사 연산자에 적용되며, 이들의 수렴 속도가 $C[a,b]$ 의 어떤 무한차원 닫힌 부분공간에 대해라도 거의 임의로 느리게 일어남을 보여준다.
• 이 이론은 최소 체계와 무조건 기저에 대한 게리 근사로 확장되며, 항등 연산자로의 수렴이 거의 임의로 느리게 일어남을 보여준다.