[논문 리뷰] On shortened and punctured cyclic codes

Arti D. Yardi, Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 체 위의 임의의 선형 블록 코드가 순환 코드에 대한 순차적 삭제 및/또는 단순화 연산을 통해 구성될 수 있음을 증명한다. 핵심 기여는 순환 코드가 점점 더 좋은 성능을 보이는 데 필요한 조건—즉, 모든 선형 코드가 그것들로부터 유도될 수 있음—을 만족함을 입증한 것이다. 이는 순환 코드 자체가 점점 더 좋은 가족이 될 가능성을 열어둔다.

ABSTRACT

The problem of identifying whether the family of cyclic codes is asymptotically good or not is a long-standing open problem in the field of coding theory. It is known in the literature that some families of cyclic codes such as BCH codes and Reed-Solomon codes are asymptotically bad, however in general the answer to this question is not known. A recent result by Nelson and Van Zwam shows that, all linear codes can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of a collection of asymptotically good codes~\cite{Nelson_2015}. In this paper, we prove that any linear code can be obtained by a sequence of puncturing and/or shortening of some cyclic code. Therefore the result that all codes can be obtained by shortening and/or puncturing cyclic codes leaves the possibility open that cyclic codes are asymptotically good.

연구 동기 및 목표

• 순환 코드가 삭제 및 단순화를 통해 모든 선형 코드를 구성하는 데 사용될 수 있는지 조사하기 위해.
• 코딩 이론에서 오랫동안 미해결 문제로 남아 있던 순환 코드 가족이 점점 더 좋은 성능을 보이는지 여부를 규명하기 위해.
• Nelson과 Van Zwam이 점점 더 좋은 성능을 보이는 코드 가족을 위해 필요로 하는 조건을 순환 코드가 만족함을 입증하기 위해.
• 임의의 선형 코드가 순환 코드에서 삭제 및/또는 단순화 연산의 순서를 통해 구성될 수 있음을 보여주는 구조적 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 길이 $ n $인 순환 코드의 생성 행렬을, 반복 패턴을 가진 블록 행렬 표현 방식을 사용하여 구성하기 위해.
• 생성 행렬의 원치 않는 행을 제거하기 위해 특정 좌표 위치에 대해 단순화 연산을 순차적으로 적용하기 위해.
• 남은 열들에 대해 삭제 연산을 적용하여 왼쪽 끝 블록을 제거함으로써 행렬을 목표 형태로 축소하기 위해.
• 최종 행렬의 행공간이 목표 선형 코드의 행공간과 일치함을 이용하기 위해.
• 순환 코드의 구조를 활용하여, 삭제 및 단순화를 위한 위치를 신중히 선택함으로써 임의의 선형 코드를 임bedding하기 위해.
• 모든 연산 이후의 최종 생성 행렬이 목표 코드 $ C $의 생성 행렬과 일치함을 보여주어 구성 가능성의 정당성을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 선형 블록 코드가 순환 코드에서 삭제 및/또는 단순화를 통해 유도될 수 있는가?
• RQ2 순환 코드에서 유도 가능한 구성 순서의 존재가 순환 코드가 점점 더 좋은 성능을 보일 수 있음을 시사하는가?
• RQ3 Nelson과 Van Zwam이 점점 더 좋은 성능을 보이는 코드 가족에 대해 제시한 결과가 순환 코드의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 어떤 순환 코드의 구조적 특성이 삭제 및 단순화를 통해 모든 선형 코드를 생성할 수 있게 하는가?
• RQ5 모든 선형 코드가 이러한 연산을 통해 유도될 수 있다면, 순환 코드 가족은 점점 더 좋은 성능을 보이는가?

주요 결과

• 모든 선형 블록 코드는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 어떤 순환 코드에 대해 삭제 및/또한 단순화 연산의 순서를 적용함으로써 얻을 수 있다.
• 구성 과정은 목표 코드의 생성 행렬을 블록 반복 및 전략적 영행렬 패딩을 통해 더 큰 순환 코드의 구조에 임베딩하는 것을 포함한다.
• 중간 행을 제거하기 위해 특정 간격으로 단순화 연산이 적용되어 원하는 코드워드만 유지된다.
• 삭제는 단순화 이후에 적용되어 왼쪽의 여분의 열을 제거함으로써 생성 행렬을 목표 코드의 생성 행렬 정확한 형태로 축소한다.
• 모든 연산 이후의 최종 생성 행렬은 목표 코드의 원래 생성 행렬과 일치하여 구성의 정확성이 확인된다.
• 결과는 순환 코드가 점점 더 좋은 성능을 보이기 위한 필요 조건을 만족함을 시사하며, 이는 순환 코드 가족 자체가 점점 더 좋은 성능을 보일 수 있음을 열어둔다.