[논문 리뷰] On shrinking targets for Z^m actions on tori

Yann Bugeaud, Stephen Harrap외 2명|ArXiv.org|2008. 07. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위의 ℤ^m 작용에 대한 수축 목표 문제를 조사하며, 고차원 선형 형식으로 비유일 회전을 일반화한다. 점근적으로 궤도에 의해 나쁜 방식으로 근사되는 점들로 이루어진 집합 Bad_A — 행렬 A에 대한 — 는 정규 분수집합과의 교차에서 가능한 최대 하우스도르프 차원을 가지며, 이는 메트릭 수론에서의 디오판틴스 추측 결과를 고차원 랭크 작용과 분수기하학으로 확장한다.

ABSTRACT

Let A be an n by m matrix with real entries. Consider the set Bad_A of x \in [0,1)^n for which there exists a constant c(x)>0 such that for any q \in Z^m the distance between x and the point {Aq} is at least c(x) |q|^{-m/n}. It is shown that the intersection of Bad_A with any suitably regular fractal set is of maximal Hausdorff dimension. The linear form systems investigated in this paper are natural extensions of irrational rotations of the circle. Even in the latter one-dimensional case, the results obtained are new.

연구 동기 및 목표

• 비유일 회전에 대한 고전적 수축 목표 결과를 고차원 랭크 ℤ^m 작용으로 일반화하기 위해.
• 균일 디오판틴스 근사 경계를 가지는 점들의 집합 Bad_A 와 토러스의 분수집합 부분집합 간의 교차를 연구하기 위해.
• 분수집합에 대한 정규 조건 하에 이 교차가 가능한 최대 하우스도르프 차원을 갖는다는 것을 증명하기 위해.
• 행렬 작용을 통한 고차원 선형 형식으로 일차원 디오판틴스 추측 결과를 확장하기 위해.
• 기존의 나쁜 근사 집합과 수축 목표 문제의 결과를 메트릭 수론의 관점에서 통합 및 일반화하기 위해.

제안 방법

• Bad_A 를 모든 0이 아닌 q ∈ ℤ^m 에 대해 ||Aq - x|| ≥ c(x)|q|^{-m/n} 를 만족하는 [0,1)^n 내의 x ∈ 집합으로 정의한다.
• 최적 근사 이론과 벡터 {y_i} 의 간격이 큰 부분수열을 사용하여 B_{y_φ(i)}(c) 라는 중첩된 집합의 가족을 구성한다.
• 균일 근사 경계로 정의된 집합의 차원에 관한 정리 3 을 적용하여 B_{y_φ(i)}(c) 의 차원을 아래에서 유계로 제한한다.
• 삼각 부등식과 노름 추정을 사용하여 ||Aq - x|| 에 대한 균일한 하한을 도출함으로써 충분히 작은 c 에 대해 Bad_A ∩ K ⊇ B_{y_φ(i)}(c) 를 확보한다.
• 시퀀스 {y_φ(i)} 의 간격성과 ||A^T y_i|| 의 추정치를 사용하여 근사의 오차 항을 제어한다.
• K 의 정규성과 c → 0 일 때 차원의 수렴을 고려하여 하한과 상한을 결합함으로써 dim(Bad_A ∩ K) = dim(K) = δ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 분수집합 K ⊂ [0,1)^n 의 하우스도르프 차원 δ > n−1 일 때, Bad_A 와 K 의 교차의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 토러스 위의 ℤ^m 작용에 대한 수축 목표 문제는 비유일 회전에 대한 고전적 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 K 가 차원 δ > n−1 인 분수집일 때, Bad_A ∩ K 의 최대 차원이 유지될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 행렬 A 의 궤도에 의해 나쁜 방식으로 근사되는 점들의 집합이 분수집과 교차할 때 여전히 전체 차원을 유지하는가?
• RQ5 결과가 행렬 A 의 구조와 근사 수열의 선택에 얼마나 의존하는가?

주요 결과

• Bad_A 와 [0,1)^n 내의 정규 분수집합 K 의 교차는 하우스도르프 차원이 δ 와 같으며, 이는 δ > n−1 이다.
• 이 결과는 Mat_{n×m}^*(ℝ) 에 속하지 않는 모든 행렬 A ∈ Mat_{n×m}(ℝ) 에 대해 성립하며, 이는 근사 성질이 열악한 행렬들로 이루어진 예외 집합이다.
• 이러한 A 에 대해 Bad_A ∩ K 는 가능한 최대 차원을 가지며, 이는 나쁜 근사 점들이 분수집 K 에 분수적 의미에서 조밀하다는 것을 의미한다.
• 증명은 최적 근사의 간격이 큰 수열을 구성하고, 이에 대응하는 집합 B_{y_φ(i)}(c) 가 차원에서 Bad_A ∩ K 를 아래에서 근사함을 보여줌에 의존한다.
• 충분히 작은 c > 0 에 대해 노름 추정과 삼각 부등식을 사용하여 B_{y_φ(i)}(c) ⊆ Bad_A ∩ K 를 확보한다.
• 정리 3 의 하한과 K 의 정규성에 의한 상한을 결합함으로써 Bad_A ∩ K 의 차원이 δ 와 같다는 것을 증명한다.