[논문 리뷰] On Simplex Pivoting Rules and Complexity Theory

Ilan Adler, Christos H. Papadimitriou외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 12.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특정 결정적 Simplex 피벗 규칙의 경로 상에 주어진 기저가 나타나는지 여부를 판단하는 것이 PSPACE-완전임을 입증하며, 이는 P = PSPACE가 아닐 경우 그러한 규칙이 강한 다항식 알고리즘의 일부가 될 수 없음을 시사한다. 또한 Dantzig의 색채 정점 알고리즘이 다항시간 경로 문제를 갖는다며, 이는 타당한 경로 문제임을 보여주지만, 많은 고전적 피벗 규칙—예를 들어 기울기 가장 급한 모서리 규칙과 크리스크로스 방법—이 또한 비가역적일 수 있다는 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We show that there are simplex pivoting rules for which it is PSPACE-complete to tell if a particular basis will appear on the algorithm's path. Such rules cannot be the basis of a strongly polynomial algorithm, unless P = PSPACE. We conjecture that the same can be shown for most known variants of the simplex method. However, we also point out that Dantzig's shadow vertex algorithm has a polynomial path problem. Finally, we discuss in the same context randomized pivoting rules.

연구 동기 및 목표

• 결정적 Simplex 피벗 규칙의 경로 문제의 계산 복잡도를 조사하는 것, 즉 주어진 기저가 알고리즘의 경로 상에 나타나는지 여부를 판단하는 것.
• 이러한 복잡도 결과가 강한 다항식 Simplex 알고리즘의 존재를 배제하는 데 쓰일 수 있는지 평가하는 것.
• 특히 Dantzig의 색채 정점 알고리즘을 포함한 잘 알려진 피벗 규칙의 경로 문제의 타당성 탐색 및 다른 규칙들과의 비교.
• 랜덤화된 피벗 규칙으로의 분석 확장 및 이러한 규칙에 적합한 경로 문제의 정의.
• 많은 고전적 피벗 규칙—예를 들어 기울기 가장 급한 모서리 규칙과 크리스크로스 방법—이 비가역적일 수 있다는 추측.

제안 방법

• 피벗 규칙을 잠재 함수를 증가시키고 최적성에 도달하는 강한 다항식 결정적 절차로 정의한다.
• 경로 문제를 공식화한다: 주어진 선형 계획 문제와 기저에 대해, 이 기저가 규칙의 경로 상에 존재하는가? 이 문제는 PSPACE에 속함을 보인다.
• 기존의 알려진 PSPACE-완전 문제로부터의 환원을 통해, 경로 문제가 PSPACE-완전임을 증명하는 인위적이고 비자연스러운 피벗 규칙을 구성한다.
• 기저 포함 여부가 선형 부등식계를 풀면 결정 가능하므로, Dantzig의 색채 정점 알고리즘의 경로 문제가 다항시간에 해결 가능함을 보여, 이는 타당한 경로 문제임을 입증한다.
• 랜덤화된 피벗 규칙에 대해 약속 문제 변형을 정의한다: 주어진 기저가 확률 f(m,n) 이하 또는 f(m,n)+1/p(m,n) 이상로 나타나는지 구분한다. 여기서 p는 다항식이고 f는 함수이다.
• 랜덤화된 피벗 규칙이 기대값에서 강한 다항식이라면, 그 경로 문제가 BPP에 속함을 증명하며, 복잡도 클래스와 알고리즘 성능을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 결정적 피벗 규칙의 경로 문제가 계산적으로 어렵고, 만약 그렇다면 PSPACE-완전일 수 있는가?
• RQ2 경로 문제의 PSPACE-완전성은 강한 다항식 Simplex 알고리즘의 존재를 배제하는 데 쓰일 수 있는가?
• RQ3 Dantzig의 색채 정점 알고리즘은 타당한 경로 문제를 갖는가? 다른 피벗 규칙과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 랜덤화된 피벗 규칙의 경로 문제를 의미적으로 정의할 수 있으며, 어떤 복잡도 클래스에 속하는가?
• RQ5 기울기 가장 급한 모서리 규칙이나 크리스크로스 방법과 같은 고전적 피벗 규칙은 비가역적인가? 유사한 기법으로 이를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 경로 문제가 PSPACE-완전인 결정적 피벗 규칙이 존재하며, 이는 P = PSPACE가 아닐 경우 이 규칙에 기반한 강한 다항식 알고리즘이 존재할 수 없음을 시사한다.
• Dantzig의 색채 정점 알고리즘은 기저가 경로 상에 포함되는지 여부가 2n개의 선형 부등식계를 한 변수에서 풀면 결정 가능하므로, 다항시간에 해결 가능한 경로 문제를 갖는다.
• 모든 강한 다항식 랜덤화 피벗 규칙의 경로 문제는 BPP에 속하며, 이는 이러한 규칙의 복잡도 이론적 특성화를 제공한다.
• 논문은 많은 고전적 피벗 규칙—예를 들어 기울기 가장 급한 모서리 규칙과 크리스크로스 방법—이 비가역적일 수 있다는 추측을 제기하지만, 이를 증명하는 것은 여전히 도전적이다.
• 결과는 경로 문제의 복잡도가 강한 다항식 Simplex 알고리즘을 구성하는 데 있어 핵심적인 장벽이며, 대부분의 알려진 피벗 규칙이 본질적으로 비가역적일 수 있음을 시사한다.
• 분석은 Simplex 방법의 평균 복잡도와 경로 예측의 비가역성 사이에 깊은 연결 고리를 드러내며, 이는 이론적 평균 복잡도 분석에서 역사적으로 어려웠던 이유를 설명한다.