[논문 리뷰] On simplified NP-complete variants of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat

Andreas Darmann, Janosch Döcker|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 12.

Formal Methods in Verification참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Not-All-Equal 3-Sat와 3-Sat의 단순화되고 단조적인 변종에 대해 새로운 NP-완전성 결과를 확립한다. 각 변수의 출현 제약 조건이 엄격할 때에도 두 문제 모두 NP-완전성을 유지한다는 것을 증명한다. 특히, 선형적이고 단조적인 공식에서 각 변수가 정확히 네 번 출현할 경우 Monotone Not-All-Equal 3-Sat가 NP-완전하다는 것을 보이며, 모든 k ≥ 3에 대해 각 변수가 정확히 k번 긍정적으로 나타나고 k번 부정적으로 나타나는 경우 Monotone 3-Sat가 NP-완전하다. 또한 각 변수가 정확히 k′번 긍정적으로 나타나고 한 번만 부정적으로 나타나는 경우 k′ ≥ 5일 때 Monotone 3-Sat가 NP-완전하다.

ABSTRACT

We consider simplified, monotone versions of Not-All-Equal 3-Sat and 3-Sat, variants of the famous Satisfiability Problem where each clause is made up of exactly three distinct literals. We show that Not-All-Equal 3-Sat remains NP-complete even if (1) each variable appears exactly four times, (2) there are no negations in the formula, and (3) the formula is linear, i.e., each pair of distinct clauses shares at most one variable. Concerning 3-Sat we prove several hardness results for monotone formulas with respect to a variety of restrictions imposed on the variable appearances. Monotone 3-Sat is the restriction of 3-Sat to monotone formulas, i.e. to formulas in which each clause contains only unnegated variables or only negated variables, respectively. In particular, we show that, for any $k\geq 5$, Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly $k$ times unnegated and exactly once negated. In addition, we show that Monotone 3-Sat is NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and three times negated, respectively. In fact, we provide a complete analysis of Monotone 3-Sat with exactly six appearances per variable. Further, we prove that the problem remains NP-complete when restricted to instances in which each variable appears either exactly once unnegated and three times negated or the other way around. Thereby, we improve on a result by Darmann et al. [DDD18] showing NP-completeness for four appearances per variable. Our stronger result also implies that 3-Sat remains NP-complete even if each variable appears exactly three times unnegated and once negated, therewith complementing a result by Berman et al. [BKS03].

연구 동기 및 목표

• 단조적인 3-Sat 및 Not-All-Equal 3-Sat의 변수 출현 빈도가 다항 시간 내에서 해결 가능에서 NP-완전으로 전이되는 정확한 임계점을 규명하는 것.
• 특히 k=2,3,4에 대해 균형 잡힌 및 균형 잡히지 않은 변수 출현을 가진 Monotone 3-Sat의 열린 복잡도 문제를 해결하는 것.
• 변수 출현 횟수의 하한을 줄이고 선형성과 단조성과 같은 더 엄격한 구조적 제약 조건 하에서 이전의 난이도 결과를 강화하는 것.
• 각 변수가 정확히 여섯 번 출현하는 Monotone 3-Sat의 경우에 대해 균형 잡힌 경우와 균형 잡히지 않은 경우를 구분하여 완전한 복잡도 분류를 제공하는 것.
• Berman 등 [BKS03]의 3-Sat-E4에 대한 기존 결과를 보완하여 각 변수가 정확히 세 번 긍정적으로 나타나고 한 번 부정적으로 나타나는 경우, 또는 그 반대의 경우에도 NP-완전성을 증명하는 것.

제안 방법

• 기존의 NP-완전 문제로부터 축약을 통해 Not-All-Equal 3-Sat 및 3-Sat의 단조적이고 선형적이며 출현 횟수 제한이 있는 인스턴스를 구성하는 것.
• 보조 변수를 사용하여 명시적인 부정 없이도 부정된 리터럴을 시뮬레이션할 수 있도록 하는 변수 분할 기법 설계를 통해 단조성 유지.
• 기본 함수 B를 사용하여 분할된 두 변수가 서로 다른 진리 값을 가져야 함을 강제하는 클라우즈 구성으로, 단조적 공식에서 부정의 효과를 시뮬레이션.
• 단조적 3-Sat-E4 구성의 활용을 통해 각 변수가 정확히 세 번 긍정적으로 나타나고 한 번 부정적으로 나타나는 경우, 또는 그 반대의 경우에도 3-Sat가 여전히 NP-완전하다는 것을 증명.
• Tovey의 정리를 적용하여 k=1일 경우의 자명함을 보이고, (k,1) 및 (k,k) 설정에서 k=2,3,4에 대한 열린 사례를 식별.
• 모순에 의한 증명과 구조적 분석을 통해 구성된 인스턴스가 선형성, 단조성, 정확한 변수 출현 수 제약 조건을 모두 만족함을 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 변수가 정확히 네 번 출현하고, 공식이 선형이며, 부정이 존재하지 않을 때 Monotone Not-All-Equal 3-Sat는 NP-완전한가?
• RQ2 각 변수가 정확히 k번 긍정적으로 나타나고 k번 부정적으로 나타나는 경우, 모든 k ≥ 3에 대해 Monotone 3-Sat는 NP-완전한가?
• RQ3 각 변수가 정확히 k′번 긍정적으로 나타나고 한 번만 부정적으로 나타나는 경우, 모든 k′ ≥ 5에 대해 Monotone 3-Sat는 NP-완전한가?
• RQ4 각 변수가 정확히 세 번 긍정적으로 나타나고 한 번 부정적으로 나타나는 경우, 또는 그 반대의 경우 Monotone 3-Sat의 복잡도 상태는 무엇인가?
• RQ5 Monotone 3-Sat-(2,2)에 대해 불만족 가능한 인스턴스가 존재하는가, 아니면 문제 자체가 자명하게 만족 가능한가?

주요 결과

• 각 변수가 정확히 네 번 출현하고, 공식이 선형이며, 부정이 존재하지 않을 때 Monotone Not-All-Equal 3-Sat는 여전히 NP-완전하다.
• 각 변수가 정확히 k번 긍정적으로 나타나고 k번 부정적으로 나타나는 경우, 모든 k ≥ 3에 대해 Monotone 3-Sat는 NP-완전하다.
• 각 변수가 정확히 k′번 긍정적으로 나타나고 한 번만 부정적으로 나타나는 경우, 모든 k′ ≥ 5에 대해 Monotone 3-Sat는 NP-완전하다.
• 각 변수가 정확히 p번 긍정적으로 나타나고 (6−p)번 부정적으로 나타나는 경우, 모든 p ∈ {1,2,3,4,5}에 대해 Monotone 3-Sat는 NP-완전하다.
• 각 변수가 정확히 세 번 긍정적으로 나타나고 한 번 부정적으로 나타나는 경우, 또는 세 번 부정적으로 나타나고 한 번 긍정적으로 나타나는 경우 Monotone 3-Sat는 NP-완전하다.
• 3-Sat-E4는 각 변수가 정확히 세 번 긍정적으로 나타나고 한 번 부정적으로 나타나는 경우, 또는 그 반대의 경우에도 NP-완전하다. 이는 Berman 등 [BKS03]의 결과를 보완한다.