[논문 리뷰] On Simultaneous Palindromes

Attila Bérczes, Volker Ziegler|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 정수의 기수 $g$와 $h$에서 동시에 팰린드롬이 되는 경우의 유한성을 조사하며, 특히 $h \mid g$ 이고 $g$, $h$가 곱셈적으로 독립일 때를 중심으로 다룬다. 디오판틴 대수 및 로그형의 경계를 이용하여, 특정 팰린드롬 수가 기수 $g$에서 팰린드롬일 수 있는 지수 $n$에 대한 명시적인 상한을 도출하고, 대부분의 기수 $g$ 팰린드롬 수가 기수 $h$에서 팰린드롬이 되지 않음을 증명한다. 핵심 결과는 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$ 형태의 동시 팰린드롬 수에 대해 계산 가능한 $n$의 상한을 제시하는 것으로, (2,10) 및 (2,3)과 같은 기수 쌍에 적용 가능하다.

ABSTRACT

A palindrome in base $g$ is an integer $N$ that remains the same when its digit expansion in base $g$ is reversed. Let $g$ and $h$ be given distinct integers $>1$. In this paper we discuss how many integers are palindromes in base $g$ and simultaneously palindromes in base $h$.

연구 동기 및 목표

• 기수 $g$와 $h$에서 동시에 팰린드롬이 되는 양의 정수의 수가 유한한지 무한한지 판단하는 것. 특히 $h \mid g$ 이고 $g$, $h$가 곱셈적으로 독립일 때를 중심으로 한다.
• 형태 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$인 수가 기수 $g$와 기수 $h$에서 동시에 팰린드롬이 되는 지수 $n$에 대한 효과적인 상한을 도출하는 것.
• 고정된 $g$와 $h$에 대해, 기수 $g$ 팰린드롬 중 기수 $h$에서도 팰린드롬이 되지 않는 수의 비율을 정량화하여, 기수 $g$ 팰린드롬 중 기수 $h$에서 팰린드롬이 되지 않는 수의 수에 대한 명시적인 하한을 제시하는 것.
• 디오판틴 대수와 연속분수 수렴을 통한 계산적 프레임워크를 제공하여, 특히 (2,10) 및 (2,3)과 같은 기수 쌍에 대해 주어진 형태의 모든 동시 팰린드롬 수를 찾는 알고리즘적 접근을 제시하는 것.

제안 방법

• 기수 $g$와 $h$에서 동시에 팰린드롬이 되기 위한 필수 조건을 제시하는 기본 보조정리(보조정리 1)를 유도한다. 이는 $h \mid g$ 이고 $g$, $h$가 곱셈적으로 독립일 때를 전제로 한다.
• 로그형의 선형형식에 대한 경계를 적용하여, $N$이 두 기수에서 팰린드롬이 될 수 있도록 하는 $n$의 상한을 도출한다. 이는 $a$, $g$, $h$의 크기에 기반한다.
• 연속분수 이론과 $\log g / \log h$의 유리수 근사에 기반하여, 필요한 로그 부등식을 만족하는 $n$의 수가 유한함을 보여준다.
• 기수 $h$에서 $N$이 팰린드롬임을 조건으로 하여 두 경우로 나누어 분석한다: $\alpha = a / \overline{(\overline{(a)_g})_h}$ 가 $g$와 $h$와 곱셈적으로 독립일 때와, 비자명한 곱셈관계를 만족할 때.
• $N \equiv \overline{(a)_g} \pmod{h^{m+n_a}}$ 라는 조건을 활용하여 기수 $h$에서 마지막 $m+n_a$ 자릿수를 제약함으로써, 모듈로 산술과 자릿수 반전 조건을 적용할 수 있도록 한다.
• SageMath를 이용한 계산적 검색을 구현하여, $a < 10^6$, $10 \nmid a$, $\overline{(a)_{10}}$ 가 홀수인 경우에 대해 $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ 형태의 모든 동시 팰린드롬을 검증하였다. 이 검색은 단일 PC에서 약 80분 내로 완료되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기수 $(g,h)$가 $2 \leq h < g$, $h \mid g$, $g,h$가 곱셈적으로 독립일 때, 두 기수에서 동시에 팰린드롬이 되는 양의 정수의 수가 유한한가?
• RQ2 형태 $N = a g^n + \overline{(a)_g}$인 수가 기수 $g$와 기수 $h$에서 동시에 팰린드롬이 되는 지수 $n$에 대한 효과적인 상한은 무엇인가?
• RQ3 기수 $g$ 팰린드롬 중 기수 $h$에서도 팰린드롬이 되는 수는 몇 개인가? 기수 $g$ 팰린드롬 중 기수 $h$에서 팰린드롬이 되지 않는 수의 수에 대한 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 형태 $a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$와 같은 동시 팰린드롬을 알고리즘적으로 모두 찾을 수 있는가? 이 검색의 효율성은 어떠한가?
• RQ5 기수 2와 기수 3에서 동시에 팰린드롬이 되는 정수는 유한한가? 만약 그렇다면, 주어진 기준 이하에서는 몇 개인가?

주요 결과

• 기수 $h=2$, $g=10$, $a < 10^6$ 일 때, 수 $N = a \cdot 10^n + \overline{(a)_{10}}$ 가 이진수 팰린드롬이 될 수 있는 것은 $n \leq 2.65 \times 10^{15}$ 일 때에만 가능하며, 이는 정리 1에서 유도되었다.
• SageMath를 이용한 컴퓨터 검색 결과, $10^{18}$ 이하에서 기수 2와 10에서 동시에 팰린드롬이 되는 수는 총 62개 뿐이었으며, 이는 약 31일 17시간 동안 계산되었다.
• 기수 쌍 (2,3)에 대해서는 $3^{66} \approx 3.09 \times 10^{31}$ 이하에서 오직 9개의 동시 팰린드롬 수만 존재하여, 이 쌍에 대해서도 유한성이 나타남을 시사한다.
• 기수 5와 7, 11과 13, 7과 29에서의 동시 팰린드롬 수는 각각 57, 58, 73개였으며, 모두 $10^{16}$에서 $10^{17}$ 수준의 상한 이하에서 발견되어 희소성을 보여준다.
• 정리 2는 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $x$ 이하의 기수 $g$ 팰린드롬 중 기수 $h$에서 팰린드롬이 되지 않는 수가 최소 $\Omega_{\epsilon,g,h}(x^{1/2 - \epsilon})$ 개 이상 존재함을 증명하며, 명시적인 상수를 제공한다.
• 연속분수 근사에 의해 $\log g / \log h$를 근사함으로써, $n$을 작은 값들(예: $n \leq 30$)으로 제한함으로써 동시 팰린드롬 수의 탐색 공간을 효과적으로 줄일 수 있었으며, 이는 효율적인 계산을 가능하게 하였다.