[논문 리뷰] On-Site and Off-Site Bound States of the Discrete Nonlinear Schrödinger Equation and the Peierls-Nabarro Barrier

Michael J. Jenkinson, Michael I. Weinstein|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 15.

Nonlinear Photonic Systems참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1, 2, 3차원에서 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식(DNLS)에 대해 연속적인 NLS 극한에서 분기 방법을 사용하여 현장 내(정점 중심) 및 현장 외(결합-, 면-, 세포 중심) 대칭 고립파 해를 구축한다. 엄밀하게, 동일한 주파수를 가진 서로 다른 상태 간의 에너지 차이가 지수적으로 작다는 것을 증명하여 페일러스-나바로 에너지 장벽에 대한 수학적 상한을 제공한다.

ABSTRACT

We construct multiple families of solitary standing waves of the discrete cubically nonlinear Schrödinger equation (DNLS) in dimensions $d=1,2$ and $3$. These states are obtained via a bifurcation analysis about the continuum (NLS) limit. One family consists {\it on-site symmetric} (vertex-centered) states; these are spatially localized solitary standing waves which are symmetric about any fixed lattice site. The other spatially localized states are {\it off-site symmetric}. Depending on the spatial dimension, these may be bond-centered, cell-centered, or face-centered. Finally, we show that the energy difference among distinct states of the same frequency is exponentially small with respect to a natural parameter. This provides a rigorous bound for the so-called {\it Peierls-Nabarro} energy barrier.

연구 동기 및 목표

• 1, 2, 3차원에서 DNLS 방정식의 고립 정적 파동의 존재성과 구조를 연구하는 것.
• 해를 현장 내(정점 중심) 또는 현장 외(결합-, 면-, 세포 중심) 대칭 상태로 분류하는 것.
• 동일한 주파수를 가진 서로 다른 국소화된 상태 간의 에너지 차이를 엄밀히 정량화하는 것.
• 이산 비선형 시스템에서 페일러스-나바로 에너지 장벽에 대한 수학적 상한을 제공하는 것.
• 연속적인 NLS의 분기 이론을 이산 DNLS 프레임워크로 확장하는 것.

제안 방법

• 1, 2, 3차원에서 DNLS 방정식에 분기 분석을 적용하며, 연속적인 NLS 극한에서 출발한다.
• 해는 이산 타원형 문제를 분석함으로써 구축된다: $-h^{-2}(\delta^2 g)_n - |g_n|^2 g_n = \omega g_n$ 이며 $g \in l^2(\mathbb{Z}^d)$.
• 대칭 기반 분류를 통해 현장 내(정점 중심) 및 현장 외(결합-, 면-, 세포 중심) 해를 구분한다.
• 가중 $L^{2,a}$ 공간과 수축 사상 원리 등을 포함한 함수 해석 기법을 사용하여 해의 감쇠 및 정칙성을 제어한다.
• 해의 구성에서 잔여 오차를 유 bounds 하기 위해 $\alpha^{2J+2}$ 차수 항을 포함한 점근 전개 및 추정을 사용한다.
• 작은 매개변수 조건 하에서 가중 함수 공간에서 은근함수정리를 적용하여 해의 존재성과 감쇠성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DNLS가 1, 2, 3차원에서 현장 내 및 현장 외 대칭 고립파 해를 갖는가?
• RQ2 이산 비선형 시스템에서 현장 내 및 현장 외 국소화 상태 간의 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ3 동일한 주파수를 가진 서로 다른 DNLS 상태 간의 에너지 차이는 시스템 매개변수에 따라 어떻게 척도가 정해지는가?
• RQ4 DNLS 프레임워크에서 페일러스-나바로 에너지 장벽을 엄밀히 유 bounds 할 수 있는가?
• RQ5 이산 격자 구조는 내재된 국소 모드의 안정성과 이동성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 1, 2, 3차원에서 DNLS에 대해 여러 가닥의 현장 내 및 현장 외 대칭 고립 정적 파동 해가 엄밀히 구축되었다.
• 현장 내 상태는 격자 점(정점)을 중심으로 대칭이며, 현장 외 상태는 차원에 따라 결합, 면, 또는 세포 중심을 중심으로 대칭된다.
• 동일한 주파수를 가진 서로 다른 DNLS 상태 간의 에너지 차이는 격자 간격 매개변수 $h$에 대해 지수적으로 작다는 것이 입증되었다.
• 이 지수적 작음은 페일러스-나바로 에너지 장벽에 대한 엄밀한 상한을 제공하며, 이는 이산 비선형 시스템에서 장벽의 존재를 확인한다.
• 해의 구성은 연속적인 NLS 극한에서 분기함으로써 이루어지며, 작은 $h$에 대해 유효하며, 가중 $L^{2,a}$ 공간에서 $\alpha^{2J+2}$ 차수의 오차 추정이 적용된다.
• 수축 사상 원리는 $L^{2,a}$-가중 공간에서 성공적으로 적용되어 해의 존재성과 감쇠성, 제어 가능한 노름을 증명한다.