[논문 리뷰] On sizes of complete arcs in PG(2,q)

Daniele Bartoli, Alexander A. Davydov외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 15.

Finite Group Theory Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $q \leq 4561$ 인 프로젝티브 평면 $PG(2,q)$에서 완전 호의 최소 크기 상한을 컴퓨터 기반의 무작위화된 근사 알고리즘과 새로운 구성 방법을 사용하여 제시한다. $q \leq 2593$ 에서는 $t_2(2,q) < 4.5\sqrt{q}$ 를, $q \leq 4561$ 에서는 $t_2(2,q) < 4.75\sqrt{q}$ 를 확립하며, $q \geq 23$ 에서는 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 가 항상 성립한다고 추측한다. 이와 함께 $q/3$ 에서 $q/2$ 사이의 넓은 간격에 걸쳐 $k$-크기의 완전 호를 구성하였다. 결과적으로 기존의 상한과 완전 호 크기 스펙트럼을 크게 확장하였다.

ABSTRACT

New upper bounds on the smallest size t_{2}(2,q) of a complete arc in the projective plane PG(2,q) are obtained for 853 &lt;= q &lt;= 4561 and q\in T1\cup T2 where T1={173,181,193,229,243,257,271,277,293,343,373,409,443,449,457, 461,463,467,479,487,491,499,529,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631, 641,661,673,677,683,691, 709}, T2={4597,4703,4723,4733,4789,4799,4813,4831,5003,5347,5641,5843,6011,8192}. From these new bounds it follows that for q &lt;= 2593 and q=2693,2753, the relation t_{2}(2,q) &lt; 4.5\sqrt{q} holds. Also, for q &lt;= 4561 we have t_{2}(2,q) &lt; 4.75\sqrt{q}. It is showed that for 23 &lt;= q &lt;= 4561 and q\in T2\cup {2^{14},2^{15},2^{18}}, the inequality t_{2}(2,q) &lt; \sqrt{q}ln^{0.75}q is true. Moreover, the results obtained allow us to conjecture that this estimate holds for all q &gt;= 23. The new upper bounds are obtained by finding new small complete arcs with the help of a computer search using randomized greedy algorithms. Also new constructions of complete arcs are proposed. These constructions form families of k-arcs in PG(2,q) containing arcs of all sizes k in a region k_{min} &lt;= k &lt;= k_{max} where k_{min} is of order q/3 or q/4 while k_{max} has order q/2. The completeness of the arcs obtained by the new constructions is proved for q &lt;= 1367 and 2003 &lt;= q &lt;= 2063. There is reason to suppose that the arcs are complete for all q &gt; 1367. New sizes of complete arcs in PG(2,q) are presented for 169 &lt;= q &lt;= 349 and q=1013,2003.

연구 동기 및 목표

• 큰 $q$ 에서 $PG(2,q)$에서 완전 호의 최소 크기 $t_2(2,q)$ 에 대한 상한을 향상시키는 것.
• 특히 $q \leq 4561$ 에서 $PG(2,q)$에서 완전 호의 가능한 크기 스펙트럼을 확장하는 것.
• 통제된 크기를 가진 완전 호를 생성하기 위한 새로운 구성 방법을 개발하고 검증하는 것.
• 모든 $q \geq 23$ 에서 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 라는 보편적인 점 游 상한을 추측하는 것.

제안 방법

• 853 \leq q \leq 4561 이며 특정 $q \in T_1 \cup T_2$ 에서 새로운 작은 완전 호를 발견하기 위해 컴퓨터 검색을 수행하고, 무작위화된 근사 알고리즘을 사용한다.
• 완전 호를 생성하는 데 사용 가능한 $PG(2,q)$에서의 새로운 세 가지 구성 가족을 제안하며, 이는 $\sim q/3$ 에서 $\sim q/2$ 사이의 $k$-크기 범위에서 작동한다.
• 근사 알고리즘에 타원곡선 및 삼차곡선의 점들을 시작 집합으로 사용하여 호 크기 스펙트럼을 효율적으로 탐색한다.
• 완전 호의 완전성을 $q \leq 1367$ 과 $2003 \leq q \leq 2063$ 에서 증명하였으며, 더 큰 $q$ 에서도 강력한 증거나를 제공한다.
• 예를 들어 세그레의 아이디어와 같은 기존 기하학적 구성 방법을 활용하여 타원곡선 또는 삼차곡선에서 점을 선택해 호 생성을 이끌어낸다.
• 이론적 상한과 추론(예: 보조정리 5.34, 정리 5.35)을 적용하여 점 游 행동에 대한 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 이전에 다루지 않은 소수 거듭제곱이 아닌 $q$ 에서 $q \leq 4561$ 에서 $t_2(2,q)$ 의 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 새로운 구성 방법이 $\sim q/3$ 에서 $\sim q/2$ 사이의 넓은 간격에서 $k$-크기를 갖는 완전 호를 생성할 수 있는가?
• RQ3 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 가 모든 $q \geq 23$ 에서 성립하는가? 그리고 이를 증명하거나 강력하게 뒷받침할 수 있는가?
• RQ4 $q \leq 4561$ 에서 $PG(2,q)$에서 완전 호 크기의 스펙트럼은 어느 정도이며, $t_2(2,q)$ 에서 $M_q$ 까지의 모든 크기들이 실현 가능한가?
• RQ5 타원곡선 기반 초기화와 결합된 무작위 근사 알고리즘이 작은 완전 호를 발견하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• $q \leq 2593$ 이며 $q = 2693, 2753$ 에서는 $t_2(2,q) < 4.5\sqrt{q}$ 가 성립하며, 이는 이전 상한을 향상시킨다.
• $q \leq 4561$ 에서는 $t_2(2,q) < 4.75\sqrt{q}$ 를 확립하여 기존 결과를 연장한다.
• $23 \leq q \leq 4561$ 이며 $q \in T_2 \cup \{2^{14}, 2^{15}, 2^{18}\}$ 에서는 부등식 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 가 증명된다.
• 저자들은 광범위한 계산적 증거를 바탕으로 $t_2(2,q) < \sqrt{q} \ln^{0.75}q$ 가 모든 $q \geq 23$ 에서 성립한다고 추측한다.
• 새로운 구성 방법을 통해 $k_{\min} \leq k \leq k_{\max}$ 인 모든 $k$ 에 대해 완전 $k$-호를 생성하였으며, 이때 $k_{\min} \sim q/3$ 또는 $q/4$ 이고 $k_{\max} \sim q/2$ 이다. 이는 $q \leq 1367$ 과 $2003 \leq q \leq 2063$ 에서 검증되었다.
• $169 \leq q \leq 349$ 이며 $q = 1013, 2003$ 에서는 $\overline{t}_2(2,q)$ 에서 $M_q$ 까지의 모든 크기에서 완전 $k$-호가 존재하며, 조합된 구성과 근사 검색을 통해 확인되었다.