[논문 리뷰] On small values of the Riemann zeta-function on the critical line and gaps between zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|2003. 12. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 세르베그의 값 분포 이론과 渐近적 분석을 이용하여 임계선 상에서 리만 제타함수의 작은 값의 측도를 조사한다. $ t \in [0,T] $ 에서 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 를 만족하는 측도에 대해 명시적인 오차 항을 확립하며, 이는 $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{(\log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $ 로 표현되며, 이는 이전의 확률적 극한 법칙을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Small values of $|ζ(1/2+it)|$ are investigated, using the value distribution results of A. Selberg. This gives an asymptotic formula for $μ(\{0 < t \le T : |ζ(1/2+it)| \le c\})$. Some related problems involving values of $|ζ(1/2+it)|$ and gaps between the consecutive ordinates of zeros of $ζ(s)$ are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 고정된 상수 $ c > 0 $ 에 대해 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 를 만족하는 실수 $ t \in [0,T] $ 의 渐近적 측도를 결정하는 것.
• Laurinčikas의 확률적 극한 법칙을 개선하여, 작은 제타값 분포에 대한 명시적 오차 항을 포함한 渐近적 공식을 도출하는 것.
• 작은 제타값과 $ \zeta(s) $ 의 비자명한 영점 간 간격 사이의 관계를 분석하는 것, 특히 리만 가설 하에서.
• 연속된 영점 간격 크기로 제한된 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 의 최댓값을 갖는 간격의 조밀도를 조사하고, 이를 영점의 단순성과 연결하는 것.

제안 방법

• 세르베그의 분포에 대한 점근적 공식(정리 2)을 사용하여 $ |\zeta(1/2 + it)| $ 의 분포를 다루며, 이는 이전의 확률적 극한 법칙보다 더 정밀하다.
• 복소모멘트 방법을 적용하여 항등식 $ \frac{1}{T}\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2i\tau(2\log\log T)^{-1/2}} dt = e^{-\frac{1}{2}\tau^2} + S_T(\tau) $ 를 활용하지만, 오차 $ S_T(\tau) $ 는 명시적으로 유계되지 않는다.
• 세르베그 공식에 $ y = \frac{\log c}{\sqrt{\frac{1}{2}\log\log T}} $ 를 대입하여 주요 결과를 도출하며, $ |y| \leq 1 $ 에 대해 $ \Phi(y) = \frac{1}{2} + O(|y|) $ 인 가우시안 尾確率 추정을 활용한다.
• Fujii의 알려진 유계 $ \sum_{\bar{\gamma}_n \leq T} (\bar{\gamma}_{n+1} - \bar{\gamma}_n)^2 \leq 9 \cdot \frac{2\pi T}{\log(T/2\pi)} $ 를 이용하여, 리만 가설 하에서 작은 간격의 수에 대한 하한을 유도한다.
• $ \mathcal{A}(T) $ 라는 집합, 즉 $ \max_{\gamma_n \leq t \leq \gamma_{n+1}} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 를 만족하는 간격을 분석하고, 주요 점근적 공식을 이용하여 그 측도에 대한 상한을 유도한다.
• 기본적인 단순성 가설과 몰튼슨의 쌍상관 추측을 이용하여, 리만 가설 하에서 $ A(T) = o(N_0(T)) $, 즉 $ D(T) = o(N_0(T)) $ 라고 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $ c > 0 $ 에 대해 $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 를 만족하는 $ t \in [0,T] $ 의 점근적 측도는 무엇인가?
• RQ2 제타함수의 절댓값에 대한 확률적 극한 법칙은 명시적 오차 항을 포함한 점근적 공식으로 강화될 수 있는가?
• RQ3 작은 제타값은 연속된 비자명한 영점 간 간격과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 리만 가설 하에서, $ \max |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 를 만족하는 간격의 조밀도에 대해 무엇을 말할 수 있는가?
• RQ5 가우시안 유니터리 군 가설이 성립할 경우, $ A(T) = o(N_0(T)) $ 가 성립하는가?

주요 결과

• $ |\zeta(1/2 + it)| \leq c $ 를 만족하는 $ t \in [0,T] $ 의 측도는 점근적으로 $ \frac{T}{2} + O\left(T \frac{(\log\log\log T)^2}{\sqrt{\log\log T}}\right) $ 로 표현되며, 이는 이전의 극한 법칙을 향상시킨다.
• 모든 고정된 $ 0 < c_1 < c_2 $ 에 대해, $ c_1 \leq |\zeta(1/2 + it)| \leq c_2 $ 를 만족하는 $ t \in [0,T] $ 의 측도는 $ o(T) $ 이다. 이는 이러한 값들이 측도적으로 희귀하다는 것을 시사한다.
• 리만 가설 하에서, $ \max_{t \in [\gamma_n, \gamma_{n+1}]} |\zeta(1/2 + it)| \leq \gamma_{n+1} - \gamma_n $ 를 만족하는 간격의 수는 $ (1/9 + o(1))N_0(T) $ 이상이다. 이는 그러한 간격이 다수 존재함을 시사한다.
• $ \mathcal{A}(T) $ 라는 집합의 측도는 $ \ll T \frac{\log\log\log T}{\sqrt{\log\log T}} $ 이다. 이는 최댓값 제타값이 간격 크기로 제한되는 간격의 총 길이가 작다는 것을 의미한다.
• 기본적인 단순성 가설과 가우시안 유니터리 군 가설을 가정할 경우, $ A(T) = o(N_0(T)) $ 이다. 이는 이러한 간격이 수의 측면에서도 희귀하다는 것을 의미한다.
• $ B(T) \sim N_0(T) $ 라는 추측, 즉 작은 간격의 수가 총 영점 수와 점근적으로 동일하다는 추측은 유도된 하한과 강력한 가설에 기반하여 지지된다.