[논문 리뷰] On Soergel bimodules

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 반모듈러 이론적 접근을 통해 Elias-Williamson의 Soergel 이중모듈러 카테고리의 구축을 제공하며, 반사 충실성이 보장되지 않을 경우에도 원래의 Soergel 이중모듈러 카테고리와 동치임을 증명한다. 이중엽의 기저와 다이어그램적, 호모로지적 기법을 통해 카테고리화 정리의 재증명을 수행하며, 무게 공간 분해를 갖는 그레디에이티드 이중모듈러를 바탕으로 더 내재된 새로운 정의를 제시한다.

ABSTRACT

For a Coxeter system and a representation $V$ of this Coxeter system, Soergel defined a category which is now called the category of Soergel bimodules and proved that this gives a categorification of the Hecke algebra when $V$ is reflection faithful. Elias and Williamson defined another category even when $V$ is not reflection faithful and they proved that this category is equivalent to the category of Soergel bimodules when $V$ is reflection faithful. Moreover they proved the categorification theorem for their category with less assumptions on $V$. In this paper, we give a "bimodule theoretic" definition of the category of Elias-Williamson and reprove the categorification theorem.

연구 동기 및 목표

• Elias-Williamson 카테고리의 다이어그램적 생성자와 관계를 피한 이중모듈러 이론적 정의를 제공한다.
• 표현 $V$에 대한 더 약한 조건 하에서 Elias-Williamson 카테고리의 카테고리화 정리를 재증명한다.
• 표현 $V$가 반사 충실할 경우, 새로운 이중모듈러 카테고리와 원래의 Soergel 이중모듈러 카테고리 간의 동치성을 확립한다.
• 이중엽의 기저를 통해 Elias-Williamson 카테고리가 새로운 이중모듈러 카테고리의 카르우비 폐쇄와 동치임을 보인다.
• 그레디에이티드 $R$-이중모듈러와 무게 분해를 갖는 표현론적 기반을 제공하여 Elias-Williamson의 다이어그램적 카테고리의 개념적 기초를 마련한다.

제안 방법

• 모든 $f \in R$, $m \in M_Q^w$에 대해 $f \cdot m = w(f) \cdot m$를 만족하고 $M \otimes_R Q = \bigoplus_{w \in W} M_Q^w$를 갖는 그레디에이티드 $R$-이중모듈러 $M$의 카테고리를 정의한다. 여기서 사상은 이 분해를 보존한다.
• 카테고리를 $R \otimes_{R^{s_1}} \cdots \otimes_{R^{s_l}} R(n)$의 직접합의 직합성분인 그레디에이티드 $R$-이중모듈러의 전부의 부분카테고리로 구성한다.
• 무게 공간 분해를 활용하여 Elias-Williamson 카테고리의 새로운 내재된 이중모듈러 이론적 모델을 정의한다.
• 이중엽 $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$의 집합이 새로운 카테고리에서 사상 공간의 기저가 됨을 증명한다.
• 기저 비교를 통해 Elias-Williamson 다이어그램적 카테고리에서 새로운 이중모듈러 카테고리로의 함자에 대한 전부 충실성과 본질적 전성(essential surjectivity)을 확립한다.
• 두 카테고리의 동일한 그레디에이티드 랭크와 이중엽 기저의 공유를 활용하여 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Elias-Williamson 카테고리는 다이어그램적 생성자와 관계 없이 오직 이중모듈러 이론적 자료만으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 표현 $V$가 반사 충실성이 없더라도 Hecke 대수에 대한 카테고리화 정리는 새로운 이중모듈러 이론적 카테고리에서도 성립하는가?
• RQ3 표현 $V$가 반사 충실할 경우 Elias-Williamson 카테고리는 Soergel 이중모듈러 카테고리와 동치인가?
• RQ4 새로운 카테고리에서 이중엽이 사상 공간의 기저를 형성하는가? 이는 다이어그램적 기저와 일치하는가?
• RQ5 다이어그램적 카테고리에서 이중모듈러 카테고리로의 함자에 대한 전부 충실성은 기저 비교를 통해 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 이중모듈러 카테고리는 Elias-Williamson 카테고리와 동치이며, 그들의 다이어그램적 구성에 대한 이중모듈러 이론적 기초를 제공한다.
• Elias-Williamson 카테고리는 새로운 이중모듈러 카테고리의 카르우비 폐쇄와 동치이며, Hecke 대수의 카테고리화를 확인한다.
• 이중엽의 집합 $\mathbb{LL}_{\mathbf{e},\mathbf{f}}$ 는 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{BS}}(B_{\underline{x}}, B_{\underline{y}})$의 기저를 형성하며, [EW16]의 다이어그램적 기저와 일치한다.
• Elias-Williamson 다이어그램적 카테고리에서 새로운 이중모듈러 카테고리로의 함자는 전부 충실하고 본질적으로 전성이며, 따라서 동치이다.
• 카테고리화 정리는 새로운 카테고리에서도 성립한다: 그의 스플릿 그로텐디에크 군은 $(W,S)$의 Hecke 대수와 동형이다.
• 증명은 무게 공간 분해의 호환성과 이중엽의 구조에 기반하며, 최대 길이 원소에 대한 귀납법을 통해 선형 독립성을 확보한다.