[논문 리뷰] On sofic groups, Kaplansky's conjectures, and endomorphisms of pro-algebraic groups

Xuan Kien Phung|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 18.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 38인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 소픽(sofic) 및 아메니타블(amenable) 군 위에서 대수적 군 세포자동기계의 가역성과 역가능성 기준을 수립한다. 특별히, 체의 특성이 0이고 군이 소픽일 경우, 단사인 이러한 자동기계는 가역임을 증명한다. 이는 카플라스키의 추측을 새로운 near ring 구조로 확장하며, 순서 가능(orderable) 군에서는 한쪽으로만 가역인 원소들이 자명함을 보여, $\mathbb{Z}^d$ 또는 자유군과 같은 군 위에서 단사인 세포자동기계의 강력한 구조적 특성화를 이끌어낸다.

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $X$ be a connected algebraic group over an algebraically closed field $K$. Denote by $A=X(K)$ the set of $K$-points of $X$. We study a class of endomorphisms of pro-algebraic groups, namely algebraic group cellular automata over $(G,X,K)$. They are cellular automata $\ au \\colon A^G \ o A^G$ whose local defining map is induced by a homomorphism of algebraic groups $X^M \ o X$ where $M\\subset G$ is a finite memory set of $\ au$. Our first result is that when $G$ is sofic, such an algebraic group cellular automaton $\ au$ is invertible whenever it is injective and $\ ext{char}(K)=0$. As an application, we prove that if $G$ is sofic and the group $X$ is commutative then the group ring $R[G]$, where $R=\ ext{End}(X)$ is the endomorphism ring of $X$, is stably finite. When $G$ is amenable, we show that an algebraic group cellular automaton $\ au$ is surjective if and only if it satisfies a weak form of pre-injectivity called $(\\bullet)$-pre-injectivity. This yields an analogue of the classical Moore-Myhill Garden of Eden theorem. We also introduce the near ring $R(K,G)$ which is $K[X_g: g \\in G]$ as an additive group but the multiplication is induced by the group law of $G$. The near ring $R(K,G)$ contains naturally the group ring $K[G]$ and we extend Kaplansky's conjectures to this new setting. Among other results, we prove that when $G$ is an orderable group, then all one-sided invertible elements of $R(K,G)$ are trivial, i.e., of the form $aX_g+b$ for some $g\\in G$, $a\\in K^*$, $b\\in K$. This allows us to show that when $G$ is locally residually finite and orderable (e.g. $\\mathbb{Z}^d$ or a free group), and $\ ext{char}(K)=0$, all injective algebraic cellular automata $\ au \\colon \\mathbb{C}^G \ o \\mathbb{C}^G$ are of the form $\ au(x)(h)= a x(g^{-1}h) +b$ for all $x\\in \\mathbb{C}^G, h \\in G$ for some $g\\in G$, $a\\in \\mathbb{C}^*$, $b\\in \\mathbb{C}$.

연구 동기 및 목표

• 소픽 및 아메니타블 군 위에서 대수적 군 세포자동기계의 가역성 기준을 수립하기 위해.
• 군의 대수적 다양체 위에서의 작용으로부터 유도된 새로운 near ring $R(K,G)$를 통해 카플라스키의 직접 유한성 및 제로약수 추측을 확장하기 위해.
• 국소적으로 잔여유한(residually finite)이면서 순서 가능인 군 위에서 단사인 대수적 세포자동기계의 구조를 특성화하기 위해.
• 아메니타블 군 위에서 대수적 군 세포자동기계에 대해 가든 오브 에덴 정리의 버전을 증명하기 위해.
• 일반화의 한계를 밝히기 위해 반례를 제시함으로써, 대수적 군 세포자동기계를 초월한 결과의 일반화에 대한 제약 조건을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 군의 작용에 기반하여 $R(K,G)$를 $K[X_g : g \in G]$로 정의하며, 덧셈은 군환(group ring)의 방식으로, 곱셈은 군의 법칙에 의해 유도된다.
• 유한한 $M \subset G$에 대해 대수적 군 준동형사상 $X^M \to X$로부터 유도되는 국소 규칙을 갖는 $G$--equivariant 사상 $\tau: A^G \to A^G$를 대수적 군 세포자동기계로 정의한다.
• 프로디스크리트 위상과 역극한 기법을 사용하여 이러한 자동기계의 상(image)과 원상(preimage)의 구조를 분석한다.
• 특히 액스-그로텐디크 정리와 그로모프의 전사성 결과를 포함한 기호역학과 대수기하학의 결과를 적용한다.
• 아메니타블 군 설정에서 전사성을 특성화하기 위해 $(\bullet)$-전단사성(pre-injectivity)의 약한 형태인 $(\bullet)$-전단사성의 개념을 활용한다.
• 아핀 다양체 위에서 전사적이지만 단사적이지 않은 다항형사상과 비대수적 역함수를 사용하여, 가정 조건이 필수적임을 보여주는 반례를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소픽 군 위에서 단사인 대수적 군 세포자동기계가 어떤 조건에서 가역적일 수 있는가?
• RQ2 대수적 군 세포자동기계가 언제 전사적일 수 있으며, 이는 아메니타블 경우의 전단사성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 near ring $R(K,G)$에서 한쪽으로만 가역인 원소의 구조는 무엇이며, 이는 세포자동기계의 동역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 고전적인 무어-마일 가든 오브 에덴 정리는 대수적 군 세포자동기계의 맥락으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 결과를 비대수적 세포자동기계로 일반화할 수 있는 한계는 무엇이며, 반례는 이를 어떻게 설명하는가?

주요 결과

• 군 $G$가 소픽이고 $\operatorname{char}(K) = 0$일 경우, 모든 단사인 대수적 군 세포자동기계 $\tau: A^G \to A^G$는 가역적이다.
• 아메니타블인 $G$에 대해, 대수적 군 세포자동기계는 $(\bullet)$-전단사성을 만족할 때이고 그때에만 전사적이다. 이는 가든 오브 에덴 정리의 한 버전을 이끌어낸다.
• near ring $R(K,G)$에서, $G$가 순서 가능일 경우 모든 한쪽으로만 가역인 원소는 자명하다 (형태는 $aX_g + b$). 이는 세포자동기계에 대해 강력한 구조적 제약 조건을 암시한다.
• 국소적으로 잔여유한이면서 순서 가능한 군(예: $\mathbb{Z}^d$ 또는 자유군)에 대해선, 모든 단사인 세포자동기계 $\tau: \mathbb{C}^G \to \mathbb{C}^G$는 어떤 $g \in G$, $a \in \mathbb{C}^*$, $b \in \mathbb{C}$에 대해 $\tau(x)(h) = a x(g^{-1}h) + b$의 형태를 가진다.
• 반례를 통해, 체 $K$가 대수적으로 닫혀 있지 않거나 국소 지도가 군 준동형사상이 아닐 경우, 결과가 성립하지 않음을 보여, 단사적이지만 전사적이지 않은 자동기계에서도 성립하지 않음을 확인한다.
• 대수적 세포자동기계의 역함수는 대수적이지 않을 수 있다. 예를 들어, $\mathbb{G}_m$ 위에서의 프로베니우스 사상은 전단사적이지만 비대수적 역함수를 갖는다.