[논문 리뷰] On Soft Connectedness

E. Peyghan, Babak Samadi외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 08.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 6인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 소프트 위상공간에서 소프트 연결성과 소프트 국소 연결성을 도입하고 조사하며, 고전적 일반위상수학과 유사한 기초 결과를 수립한다. 소프트 위상공간이 소프트 연결임은 유일한 소프트 열린 집합이자 소프트 닫힌 집합인 것이 null 소프트 집합과 전지수 소프트 집합일 때이고, 소프트 연속 전사 사상과 소프트 곱공간에서 소프트 연결성이 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

The soft topological spaces and some their related concepts have stud- ied in [7]. In this paper, we introduce and study the notions of soft connected topological spaces after a review of preliminary definitions.

연구 동기 및 목표

• 소프트 위상공간에서 소프트 연결성의 개념을 정형화하고 연구하여 고전적 위상수학 개념을 소프트 환경으로 확장한다.
• 소프트 국소 연결성 및 약한 국소 연결성 공간을 정의하고 분석하여 연결성 구성요소와의 관계를 수립한다.
• 소프트 연속 사상과 소프트 곱공간에서 소프트 연결성의 행동을 조사한다.
• 고전적 위상수학을 모방하여 비자명한 소프트 열린-닫힘 집합이 존재하지 않는 것으로 소프트 연결성을 특성화한다.
• 자연스러운 관계에 따라 동치류로 소프트 연결 구성요소를 정의하고 그 구조적 성질을 증명한다.

제안 방법

• 소프트 분리가 존재하지 않음으로써 소프트 연결성을 정의한다—즉, 유니버설 소프트 집합이 되는 두 비공집소프트 열린 집합의 합집합이며, null 소프트 집합이 되는 교집합을 갖는 쌍.
• 관계 $ x \sim y $ 를 통해 두 점 $ x $ 와 $ y $ 가 동시에 포함된 소프트 연결 부분공간이 존재할 경우로 정의된 동치류로서 소프트 연결 구성요소를 정의한다.
• 특성화를 수립한다: 소프트 공간이 소프트 연결임은 유일한 소프트 열린 집합이자 소프트 닫힌 집합인 것이 $ \Phi_E $ 와 $ \widetilde{X} $ 인 경우에 한하여 성립한다.
• 소프트 연속 함수 $ f_{pu} $ 를 사용하여 연결성 성질을 전달하며, 소프트 연속 전사 사상에 의해 소프트 연결 공간의 상이 소프트 연결임을 증명한다.
• 소프트 곱공간 개념을 적용하여, 인접한 소프트 연결 공간들이 공통 점을 공유할 경우 그 곱공간이 소프트 연결임을 보여준다.
• 임의의 점의 소프트 열린 이웃 내부에 소프트 연결 소프트 열린 이웃이 존재함으로써 소프트 국소 연결 공간을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소프트 위상공간에서 소프트 연결성의 적절한 정의는 무엇이며, 고전적 연결성과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 소프트 연속 함수는 소프트 연결성에 어떤 영향을 미치며, 이러한 사상에서 소프트 연결성이 유지되는가?
• RQ3 소프트 연결 구성요소의 구조는 어떠한가? 그리고 소프트 열린 집합과 소프트 닫힌 집합과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 소프트 위상공간이 소프트 국소 연결이 되기 위한 조건는 무엇이며, 이는 소프트 열린 부분집합에서 구성요소의 열린성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특히 부분공간들이 비자명하게 겹칠 경우, 소프트 곱공간에서 소프트 연결성은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 소프트 위상공간 $ (X,\tau,E) $ 는 소프트 열린 집합이자 소프트 닫힌 집합인 것이 $ \Phi_E $ 와 $ \widetilde{X} $ 인 경우에만 소프트 연결이다. 이는 고전적 위상수학과 유사한 특성화를 제공한다.
• 소프트 연속 전사 사상에서 소프트 연결성이 유지된다: 소프트 연결 공간 $ (U,\tau,A) $ 에서 소프트 연속 전사 사상 $ f_{pu} $ 를 통해 도메인에서 상이 소프트 연결임을 증명한다.
• 소프트 곱공간 $ (U \times V, \tau, A \times B) $ 는 인수들이 공통 점을 공유할 경우 소프트 연결이다. 이는 그들의 합집합이 소프트 연결 부분공간을 형성하기 때문이다.
• 소프트 연결 구성요소는 상호소거적이며 소프트 연결이고, 그들의 합집합은 전체 유니버설 소프트 집합 $ \widetilde{X} $ 와 일치한다. 또한 각 소프트 연결 부분공간은 완전히 하나의 구성요소 내에 존재한다.
• 소프트 위상공간이 소프트 국소 연결임은 모든 소프트 열린 집합 $ (Y,E) $ 에 대해, $ (Y,\tau_Y,E) $ 의 각 소프트 구성요소가 $ X $ 에서 소프트 열린 집합임과 동치이다.
• 소프트 약한 국소 연결성은 소프트 국소 연결성을 함의하며, 이는 두 개념 간의 계층관계를 수립한다.