[논문 리뷰] On soft linear spaces and soft normed linear spaces

Sujoy Das, Pinaki Majumdar외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 02.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 16인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 기능해석학으로 연장된 부드러운 집합 이론을 통해 부드러운 선형 공간과 부드러운 노름 선형 공간을 도입하며, 부드러운 벡터, 부드러운 노름을 정의하고 완비성, 동치 노름, 볼록 부드러운 집합을 연구한다. 주요 기여는 부드러운 노름 선형 공간의 기본 성질을 확립하는 것으로, 모든 부드러운 노름 선형 공간이 부드러운 거리 공간임을 보이고, 부드러운 구와 볼록 부드러운 집합의 닫힘은 모두 볼록임을 밝힌다.

ABSTRACT

In this paper an idea of soft linear spaces and soft norm on soft linear spaces are given and some of their properties are studied. Soft vectors in soft linear spaces are introduced and their properties are studied. Completeness of soft normed linear space is also studied and equivalent soft norms and convex soft sets are studied in soft normed linear space settings.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 집합 이론을 선형 대수학에 확장하여 부드러운 선형 공간을 도입하기 위해.
• 부드러운 벡터를 정의하고, 부드러운 선형 공간 내에서 그 성질을 연구하기 위해.
• 부드러운 노름을 도입하고, 완비성과 동치성 포함한 성질을 조사하기 위해.
• 부드러운 노름 선형 공간의 맥락에서 볼록 부드러운 집합을 탐구하기 위해.
• 부드러운 노름 선형 공간과 부드러운 거리 공간 간의 관계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 우리의 우주 위의 부분집합들의 매개변수화된 가중치 가족으로서 부드러운 선형 공간을 정의하며, 부드러운 덧셈과 스칼라 곱셈과 같은 연산을 포함한다.
• 매개변수 집합에서 우주로의 함수로서 부드러운 벡터를 도입하며, 성분별 연산을 포함한다.
• 부드러운 선형 공간에서 부드러운 실수로의 사상으로서, 노름 공리(axioms)를 만족하는 부드러운 노름을 정의한다.
• 모든 부드러운 노름 선형 공간이 표준 거리 공식을 통해 부드러운 거리 공간을 유도함을 증명한다.
• 부드러운 코시 수열과 그 수렴성을 통해 완비성을 연구한다.
• 부드러운 실수 매개변수와 선분 정의를 사용하여 동치 부드러운 노름과 볼록 부드러운 집합을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드러운 집합 이론을 어떻게 확장하여 부드러운 선형 공간과 같은 선형 대수적 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 부드러운 벡터의 정의적 성질은 무엇이며, 부드러운 연산 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 어떻게 부드러운 선형 공간에 부드러운 노름을 정의할 수 있으며, 이는 거리 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 부드러운 노름 선형 공간이 언제 완비적인가, 그리고 이는 부드러운 코시 수열과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 부드러운 노름 선형 공간에서 부드러운 구와 볼록 부드러운 집합의 닫힘은 모두 볼록한가?

주요 결과

• 모든 부드러운 노름 선형 공간은 표준 거리 공식을 통해 부드러운 노름이 부드러운 거리 공간을 유도하므로, 부드러운 거리 공간이다.
• 부드러운 노름 선형 공간 내의 부드러운 구는 삼각 부등식을 부드러운 볼록 조합에 적용함으로써 볼록 부드러운 집합임을 보였다.
• 부드러운 노름 선형 공간 내에서 어떤 볼록 부드러운 집합의 닫힘도 여전히 볼록하며, 위상적 닫힘 하에서도 볼록성이 유지된다.
• 부드러운 노름 선형 공간 내에서 임의의 볼록 부드러운 집합의 가중치 교차는 볼록하므로, 교차에 대해 안정적임을 보였다.
• 부드러운 노름은 상호 동치일 수 있으며, 이러한 동치성은 부드러운 노름 선형 공간 내에서 위상적 및 거리적 성질을 유지한다.
• 부드러운 선형 공간 내의 부드러운 벡터는 성분별 선형성과 부드러운 스칼라 곱셈과의 호환성을 만족하며, 매개변수화된 벡터 유사 구조를 이룬다.