[논문 리뷰] On solitary surface waves in finite water depth: a generalized wave theory

Shijun Liao|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 16.

Ocean Waves and Remote Sensing인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한 수심에서 영구적 형태를 가진 진행파를 기술하기 위해 대칭성과 완전 비선형 파동 방정식을 바탕으로 한 통합 파동 모델(UWM)을 제안한다. 기존 모델과 달리 UWM는 파의 정상부에서 비회전류를 允허함으로써 정점이 뾰족한 단일파의 존재를 가능하게 하며, 이는 이전에 카마사-홀름과 같은 단순화된 방정식을 통해 유도된 바 있다. 주요 기여는 이러한 뾰족한 파동이 고전적 매끄러운 파동과 물리적으로 일관됨을 증명한 데에 있다. 켈빈의 정리가 성립하고, 고유한 운동학적 특성(예: 높이에 관계없이 일정한 위상 속도, 표면에서 밑바닥으로 향해 일정하거나 증가하는 운동에너지)을 보이기 때문이다.

ABSTRACT

Many models of shallow water waves admit peaked solitary waves. However, it is an open question whether or not the widely accepted peaked solitary waves can be derived from the fully nonlinear wave equations. In this paper, a unified wave model (UWM) based on the symmetry and the fully nonlinear wave equations is put forward for progressive waves with permanent form in finite water depth. Different from traditional wave models, the flows described by the UWM are not necessarily irrotational at crest, so that it is more general. The unified wave model admits not only the traditional progressive waves with smooth crest, but also a new kind of solitary waves with peaked crest that include the famous peaked solitary waves given by the Camassa-Holm equation. Besides, it is proved that Kelvin's theorem still holds everywhere for the newly found peaked solitary waves. Thus, the UWM unifies, for the first time, both of the traditional smooth waves and the peaked solitary waves. In other words, the peaked solitary waves are consistent with the traditional smooth ones. So, in the frame of inviscid fluid, the peaked solitary waves are as acceptable and reasonable as the traditional smooth ones. It is found that the peaked solitary waves have some unusual and unique characteristics. First of all, they have a peaked crest with a discontinuous vertical velocity at crest. Especially, the phase speed of the peaked solitary waves has nothing to do with wave height. In addition, the kinetic energy of the peaked solitary waves either increases or almost keeps the same from free surface to bottom. All of these unusual properties show the novelty of the peaked solitary waves, although it is still an open question whether or not they are reasonable in physics if the viscosity of fluid and surface tension are considered.

연구 동기 및 목표

• 기존 단순화된 모델(예: 카마사-홀름)에서 유도된 정점이 뾰족한 단일파가 완전 비선형 파동 역학과 일관된가에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 매끄럽고 뾰족한 단일파를 하나의 이론적 프레임워크 안에서 통합하는 일반화된 파동 모델을 개발하기 위해.
• 점성 없고 비회전류 가정 하에 정점이 뾰족한 단일파의 물리적 타당성을 검토하기 위해.
• 특히 위상 속도와 운동에너지 분포에 초점을 맞춰 정점이 뾰족한 단일파의 운동학적 및 역학적 성질을 조사하기 위해.
• 켈빈의 정리가 정점이 뾰족한 단일파에 대해서도 유지됨을 확립하여 이들의 이론적 합리성을 강화하기 위해.

제안 방법

• 유한 수심의 완전 비선형 파동 방정식과 대칭 원리에 기반한 통합 파동 모델(UWM)을 수립하기 위해.
• 파의 정상부에서 비회전류 가정을 완화하여 순환류를 허용하고, 뾰족한 파동 해를 가능하게 하기 위해.
• 변분 원리와 비선형 경계 조건을 적용하여 UWM로부터 파의 형태와 속도장을 유도하기 위해.
• 최근 유도된 정점이 뾰족한 단일파 해에 대해 켈빈의 정리를 적용하여 유동 영역 전반에서의 타당성을 검증하기 위해.
• 정점이 뾰족한 파동과 고전적 매끄러운 파동의 운동학적 및 역학적 성질을 비교 분석하여, 특히 위상 속도와 운동에너지 분포에 중점을 두기 위해.
• 해석적 방법을 사용하여 정점이 뾰족한 단일파의 위상 속도가 파고에 관계없이 일정함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 단순화된 모델(예: 카마사-홀름)에서 유도된 정점이 뾰족한 단일파가 유한 수심에서 완전 비선형 파동 방정식으로도 일관되게 유도될 수 있는가?
• RQ2 정점이 뾰족한 단일파의 존재가 켈빈의 정리와 같은 기존 유체역학 원리들과 모순되는가?
• RQ3 정점이 뾰족한 단일파는 고전적 매끄러운 파동과 비교해 어떤 고유한 운동학적 및 역학적 특성을 가지는가?
• RQ4 정점이 뾰족한 단일파의 위상 속도는 고전적 이론에서처럼 파고에 따라 변하는가?
• RQ5 정점이 뾰족한 단일파에서 운동에너지가 자유 표면에서 바닥으로 향해 어떻게 변화하는가? 이는 에너지 분포에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 통합 파동 모델(UWM)은 기존의 매끄러운 진행파와 더불어 정점이 뾰족한 새로운 단일파 클래스를 수용하여, 둘을 하나의 프레임워크 안에서 통합한다.
• UWM에서 도출된 정점이 뾰족한 단일파는 켈빈의 정리가 흐름 영역 전역에서 성립하므로 고전적 유체역학과 물리적으로 일관된다.
• 정점이 뾰족한 단일파의 위상 속도는 파고에 관계없이 일정하며, 이는 고전적 이론에서 관찰되지 않는 고유한 성질이다.
• 수직 속도 성분은 파의 정상부에서 불연속적이며, 날카롭고 매끄럽지 않은 프로파일과 모서리 같은 구조를 나타낸다.
• 정점이 뾰족한 단일파에서 운동에너지는 자유 표면에서 바닥으로 향해 증가하거나 거의 일정하게 유지되며, 이는 매끄러운 파동에서 관찰되는 감소 경향과 대조된다.
• 이러한 파동은 이국적인 에너지 분포와 운동학적 거동를 보이며, 점성 또는 표면장력 효과를 고려할 경우 여전히 열린 질문이지만 그 독창성을 드러낸다.