[논문 리뷰] On Some Algebraic Properties of Generalized Groups

J. O. Adéníran, J. T. Akinmoyewa외 2명|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 13.

Mathematics and Applications참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 요소별 항등원과 역원을 갖는 비결합 대수적 구조인 일반화된 군의 대수적 성질을 조사한다. 고전적 군 이론 결과의 확장으로, 역원의 고정성, 준동형사상의 핵, 몫군 등의 핵심 군 성질이 일반화된 군에서도 성립함을 증명한다. 아울러 아벨 부분군을 갖는 비아벨 일반화된 군으로부터 볼 군오이드와 준군을 구성함으로써, 일반화된 군과 비결합 루프 이론 사이에 새로운 연결 고리를 설정한다.

ABSTRACT

Some results that are true in classical groups are investigated in generalized groups and are shown to be either generally true in generalized groups or true in some special types of generalized groups. Also, it is shown that a Bol groupoid and a Bol quasigroup can be constructed using a non-abelian generalized group.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 군—각 요소에 대해 고유한 항등원과 역원을 갖는 비결합 대수적 구조—에서 고전적 군 성질이 어느 정도 확장되는지 규명하기 위해.
• 일반화된 군이 볼 루프나 준군과 같은 비결합 대수적 구조를 구성하는 데 기초가 될 수 있는지 조사하기 위해.
• 일반화된 군이 아벨 일반화된 부분군의 직접곱과 동형일 조건을 필요충분조건으로 설정하기 위해.
• 취소법칙과 정규성의 역할이 준동형사상과 몫화 과정에서 구조적 성질을 유지하는 데 어떻게 기여하는지 탐구하기 위해.

제안 방법

• 요소별 항등원 $e(x)$와 역원 $x^{-1}$를 만족하는 일반화된 군의 정의를 사용한다. 이때 $xx^{-1} = x^{-1}x = e(x)$이며, 곱셈 연산은 결합법칙을 만족한다.
• 준동형사상 이론을 적용한다: $f: G \to H$를 $f(ab) = f(a)f(b)$로 정의하고, 핵의 성질과 부분군 공리에 따라 상의 닫힘성을 증명한다.
• 일반화된 부분군 $H$에 대해 인자집합 $G/H$를 구성하고, 잔여류 곱셈을 통해 일반화된 군 공리를 그대로 이어받음을 증명한다.
• 집합 $A = H \times G$ 위에 이진 연산 $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$를 정의하여 볼 군오이드를 형성한다.
• 볼 항등식 $((x\circ y)\circ z)\circ y = x\circ((y\circ z)\circ y)$를 확인하여 볼 구조임을 입증한다.
• 취소법칙과 아벨 부분군 조건을 적용하여, 구성된 구조가 왼쪽 항등원을 갖는 볼 준군이 됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(a^{-1})^{-1} = a$와 같은 고전적 군 성질, 예를 들어 반자기역성 역원 성질이 일반화된 군에서 성립하는가?
• RQ2 일반화된 군이 두 아벨 일반화된 부분군의 직접곱과 동형일 조건은 무엇인가?
• RQ3 비아벨 일반화된 군으로부터 볼 루프나 준군과 같은 비결합 대수적 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 군의 준동형사상과 핵은 고전적 군의 그것과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 취소법칙은 볼 군오이드를 볼 준군으로 전환시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 일반화된 군 $G$에서 모든 $a \in G$에 대해 $(a^{-1})^{-1} = a$가 성립하며, 이는 기본 군 성질의 자연스러운 확장이다.
• 정규 일반화된 군 $G$에서, $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ 성질이 성립하는 것은 $ab^{-1} = a$이면 $e(ab^{-1}) = e(a)$임이 항상 성립함과 동치이다.
• 조건 $e(a) = e(ab^{-1})$ iff $ab^{-1} = a$를 만족할 때, 일반화된 군 $G$가 등幂임은 $e(a) = a$ for all $a \in G$와 동치이다.
• 일반화된 부분군 $H$에 대해 일반화된 군 $G$의 인자집합 $G/H$는 잔여류 곱셈에 의해 다시 일반화된 군이 된다.
• 두 일반화된 군의 직접곱 $G \times H$는 성분별 곱셈에 대해 일반화된 군이 된다.
• 취소법칙을 만족하고 아벨 일반화된 부분군 $H$를 갖는 비아벨 일반화된 군 $G$가 있을 때, $A = H \times G$에 연산 $(h_1,g_1) \circ (h_2,g_2) = (h_1h_2, h_2g_1h_2^{-1}g_2)$를 정의하면 왼쪽 항등원을 갖는 볼 준군이 된다.