[논문 리뷰] On some arithmetic properties of automorphic forms of GL(m) over a division algebra

Harald Grobner, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 수체 F 위의 분할대수 D에 대한 GL_m에서의 자동형식의 산술적 성질을 일반화하며, Clozel, Shimura, Waldspurger의 결과를 GL_n의 내부형으로 확장한다. G' = GL_m/D 위에서 정칙 대수적 자동형식 표현은 코homological 및 본질적으로 온화한 무한대 성분으로 특징지어지며, 전역 Jacquet-Langlands 전이가 유리성과 코homological 성질을 유지함을 증명한다. 또한, 극대성 가정 하에 대수적 표현에 대한 순수성 보조정리를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate arithmetic properties of automorphic forms on the group G' = GL_m/D, for a central division-algebra D over an arbitrary number field F. The results of this article are generalizations of results in the split case, i.e., D=F, by Shimura, Harder, Waldspurger and Clozel for square-integrable automorphic forms and also by Franke and Franke-Schwermer for general automorphic representations. We also compare our theorems on automorphic forms of the group G' to statements on automorphic forms of its split form using the global Jacquet-Langlands correspondence developed by Badulescu and Badulescu-Renard. Beside that we prove that the local version of the Jacquet-Langlands transfer at an archimedean place preserves the property of being cohomological.

연구 동기 및 목표

• 분할된 GL_n에서의 정칙 대수적 및 코homological 자동형식 표현 이론을 분할대수 D에 대한 내부형 GL_m/D로 확장한다.
• 전역 Jacquet-Langlands 대응을 통해 Clozel의 정칙 대수적 표현 개념을 비분할군으로 일반화한다.
• G'의 자동형식 표현에서 유리성 필드, 자동형식 코homology, 및 Aut(C)의 작용 간 상호작용을 조사한다.
• 무한대 자리에서 국소 Jacquet-Langlands 전이가 코homological 성질을 유지함을 증명한다.
• 정칙 대수적 표현 Π′의 유한 아델 성분 Π′_f의 유리성 필드가 그 Jacquet-Langlands 전이와 동일함을 확립한다.

제안 방법

• G' = GL_m/D 위에서의 대수적 및 정칙 대수적 자동형식 표현을 G = GL_n/F (n=dm)의 분할된 군으로의 전역 Jacquet-Langlands 전이를 통한 역상으로 정의한다.
• Badulescu 및 Badulescu-Renard의 전역 Jacquet-Langlands 대응을 사용하여 G'의 단순시리즈 표현과 G의 표현 간의 관계를 설정함으로써 산술적 성질의 전이를 가능하게 한다.
• 편의 표현 $^\sigma\nu = \nu \otimes_\sigma \mathbb{C}$ 를 사용하여 코homological 자동형식 표현과 그 유리성 필드에 대한 Aut(\mathbb{C})의 작용을 분석한다.
• 무한대 자리에서의 국소 Jacquet-Langlands 전이가 코homological 성질을 유지함을 입증하기 위해 무한소 문자 및 Langlands 매개변수를 분석한다.
• 헤케 대수와 자동형식 벡터의 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-스팬을 사용하여 자동형식 코homology 공간에 유리적 구조를 구성함으로써, $V_{\Pi^\prime_f} \otimes_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)} \mathbb{C} \cong \Pi^\prime_f$ 를 보여준다.
• 강한 곱의 일관성과 무한소 문자 비교를 통해, 극대성 및 정칙성 가정 하에 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) = \mathbb{Q}(JL(\Pi^\prime)_f)$ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL_m/D 위에서의 이산 시리즈 자동형식 표현 Π′이 정칙 대수적일 조건은 무엇이며, 이는 무한대 자리에서의 코homological 및 온화한 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 전역 Jacquet-Langlands 전이가 자동형식 표현의 코homological 성질을 유지하는가, 특히 무한대 자리에서?
• RQ3 G' = GL_m/D 위에서의 자동형식 표현의 유리성 필드는 분할된 군 G = GL_n/F 위의 것과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 대수적 표현에 대한 순수성 보조정리는 분할된 경우에서 내부형 GL_n로 확장될 수 있는가?
• RQ5 정칙 대수적 표현 Π′의 유한 아델 성분 Π′_f의 유리성 필드는 그 Jacquet-Langlands 전이와 같은가?

주요 결과

• G' = GL_m/D 위의 이산 시리즈 자동형식 표현 Π′은 JL(Π′)가 극대일 경우에만 Π′_∞ 가 코homological 이고 본질적으로 온화한 경우에 정칙 대수적이다.
• G'에 대한 순수성 보조정리가 성립한다: Π′이 대수적이며 JL(Π′)가 극대일 경우, JL(Π′)_v|·|_v^{(1-n)/2}에 관련된 ℂ^*의 대수적 특성은 z ↦ z^p \overline{z}^q 형태이며, p+q = w 를 만족하는 정수 w ∈ ℤ 가 존재한다. 이 성질은 극대성 조건이 없을 경우 성립하지 않는다.
• 정칙 대수적 표현 Π′의 유한 아델 성분 Π′_f의 유리성 필드 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f)$ 는 JL(Π′)_f 와 동일하며, JL(Π′)가 극대일 경우에 성립한다.
• 무한대 자리에서의 국소 Jacquet-Langlands 전이가 코homological 성질을 유지한다: Π′_∞ 가 코homological 이면 JL(Π′)_∞ 역시 코homological 이다.
• 자동형식 코homology 공간 $H^q_{!}(S_{G'}, \mathcal{E}_{\mathbb{Q}(\Pi^\prime)})[\epsilon]$ 에는 유리적 구조가 존재하며, G'(\mathbb{A}_f)의 궤도에 속하는 벡터의 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$-스팬은 복소화 시 $\Pi^\prime_f$ 와 동형이 되는 격자를 생성한다.
• 유리성 필드 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ 는 수체이며, $\Pi^\prime_f$ 는 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime)$ 에 정의된다. 또한, 계수 체계 $E_\mu$ 에 대해 $\mathbb{Q}(\Pi^\prime_f) \supseteq \mathbb{Q}(E_\mu)$ 이다.