[논문 리뷰] On some classes of integral domains defined by Krull's $\boldsymbol{a.b.}$ operations

Marco Fontana, Giampaolo Picozza|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 17.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 크룰의 a.b. 작용을 통해 정의된 정수환을 조사하며, b-작용과 그에 관련된 유한형 e.a.b. 준별개작용을 중심으로 다룬다. b-노에터이안 정수환을 특성화하고, d, t, w, v와 같은 기본 작용이 그에 대응하는 e.a.b. 준별개작용(b, t_a, w_a, v_a)과 일치하는 정수환을 분류함으로써, 고전적 곱셈 이상 이론과 최근의 준별개작용 프레임워크를 통합하는 등 등가성을 드러낸다.

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain with quotient field $K$. The $b$-operation that associates to each nonzero $D$-submodule $E$ of $K$, $E^b := \bigcap\{EV \mid V valuation overring of D\}$, is a semistar operation that plays an important role in many questions of ring theory (e.g., if $I$ is a nonzero ideal in $D$, $I^b$ coincides with its integral closure). In a first part of the paper, we study the integral domains that are $b$-Noetherian (i.e., such that, for each nonzero ideal $I$ of $D$, $I^b = J^b$ for some a finitely generated ideal $J$ of $D$). For instance, we prove that a $b$-Noetherian domain has Noetherian spectrum and, if it is integrally closed, is a Mori domain, but integrally closed Mori domains with Noetherian spectra are not necessarily $b$-Noetherian. We also characterize several distinguished classes of $b$-Noetherian domains. In a second part of the paper, we study more generally the e.a.b. semistar operation of finite type $\star_a$ canonically associated to a given semistar operation $\star$ (for instance, the $b$-operation is the e.a.b. semistar operation of finite type canonically associated to the identity operation). These operations, introduced and studied by Krull, Jaffard, Gilmer and Halter-Koch, play a very important role in the recent generalizations of the Kronecker function ring. In particular, in the present paper, we classify several classes of integral domains having some of the fundamental operations $d$, $t$, $w$ and $v$ equal to some of the canonically associated e.a.b. operations $b$, $t_a$, $w_a$ and $v_a$.

연구 동기 및 목표

• 모든 영이 아닌 이상이 I에 대해 I^b = J^b를 만족하는 유한생성 이상 J가 존재하는 b-노에터이안 정수환을 연구한다.
• 고전적 작용 d, t, w, v가 그에 대응하는 유한형 e.a.b. 준별개작용(b, t_a, w_a, v_a)과 일치하는 정수환을 특성화한다.
• 준별개작용의 시각에서 정수적 폐쇄를 갖는 정수환, 프뤼퍼 정수환, 모리 정수환, 공집이 정수환 간의 관계를 명확히 한다.
• b, t, w, v 등의 작용이 그에 대응하는 e.a.b. 형태와 일치할 때를 분석함으로써, 고전적 곱셈 이상 이론과 현대 준별개작용 이론을 통합한다.
• b = t, b = w, 또는 b = v와 같은 항등식을 만족하는 정수환을 위한 필요 및 충분 조건을 수립하며, 이는 정수성, 프뤼퍼, 또는 데데킨드 성질과 같은 구조적 성질과 연결된다.

제안 방법

• 몫체 K를 갖는 정수환 D 위에서의 준별개작용으로서의 b-작용을 정의하고 분석한다. E^b = ⋂{EV | V는 D의 평가환복수}, 이다.
• 임의의 준별개작용 ⋆에 대해, E^{⋆_a} = ⋃{F^⋆ | F ⊆ E, F ∈ f(D)}로 정의되는 유한형 e.a.b. 준별개작용 ⋆_a를 도입한다.
• 유한형 구성 방법을 활용하여 고전적 스타 작용(d, t, v, w)과 그 e.a.b. 대응작용(b, t_a, v_a, w_a) 간의 관계를 분석하며, 특히 크룰 이론의 맥락에서 다룬다.
• 준별개작용 이론을 적용하여 b = t, b = w, b = v, 또는 b = t_a를 만족하는 정수환을 분류한다. 정수성, 프뤼퍼 구조, 유한형 안정성 등의 성질을 활용한다.
• 길머, 할터-코흐, 자파르드의 기존 결과를 활용하여 t나 v 작용이 e.a.b.인지 분석하고, 이를 바탕으로 공집이 정수환과 v-정수환을 특성화한다.
• 쌍대성과 폐쇄 성질을 이용하여 정수환의 구조적 성질(예: 프뤼퍼, 데데킨드, 모리)과 작용의 등가성(b = w, b = t, d = v) 간의 등가성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 정수환이 b-노에터이안이며, 이는 어떤 구조적 성질(예: 노에터이안 스펙트럼, 모리 성질)을 암시하는가?
• RQ2 b-작용과 t-작용이 일치하는 조건은 무엇이며, 이는 정수환이 공집이 정수환 또는 v-정수환임을 의미하는가?
• RQ3 고전적 작용 d, t, w, v가 각각 그에 대응하는 e.a.b. 준별개작용(b, t_a, w_a, v_a)과 일치하는 조건은 무엇이며, 이러한 등가성은 정수환의 구조에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 정수적 폐쇄는 d = v 또는 b = v가 준별개작용으로서 성립하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 b = w, b = t, b = w_a 등의 등가성은 프뤼퍼, 데데킨드, 또는 DW-정수환과 같은 고전적 정수환 계열과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• b-노에터이안 정수환은 노에터이안 스펙트럼을 가지며, 정수적 폐쇄를 갖는다면 모리 정수환이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
• b-작용과 v-작용이 일치한다(b = v)는 것과 동시에 정수환이 비약의 평가환복수(즉, 주 이상이 있는 평가환복수)임과 동치이다.
• b = t가 성립하는 것은 정수환이 공집이 v-정수환이며, 이는 t가 e.a.b.이자 유한형임과 동치이다.
• b = w는 정수환이 프뤼퍼 정수환임과 동치이며, 이 경우 d = b = w = w_a이므로 정수환은 DW-정수환이다.
• b = t_a는 정수환이 공집이 정수환이라는 것보다 엄밀히 더 약한 조건이며, 모든 DW-정수환에서 b = w_a가 성립하지만, b = w_a를 만족하는 모든 정수환이 공집이 정수환이라는 것은 아니다.
• 크룰 정수환의 경우, b = t_a이 성립하는 것은 정수환이 데데킨드 정수환이라는 것과 동치이며, P$v$MD의 경우 b = t_a이 성립하는 것은 정수환이 프뤼퍼 정수환이라는 것과 동치이다.