[논문 리뷰] On some generalizations of real numbers representations

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 25.

Historical Geography and Cartography인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정된 기수 s와 자연수의 특정 부분집합 NB를 사용하여 부호가 번갈아가는 전개 방식을 갖는 일반화된 숫자 체계를 도입하고 조사한다. 특정 구간 [x₀′, x₀′′] 내의 모든 실수는 적어도 하나의 그러한 전개를 갖는다고 증명하며, 비유일성의 경우를 명시적인 변환 규칙을 통해 특성화한다. 주요 기여는 NB에 속하는지 여부에 따라 부호가 번갈아가는 급수를 기반으로 한 전개와 그 오류의 특성화를 완전히 규명한 데 있다.

ABSTRACT

The article is devoted to introduce and investigation of new numeral systems. These representations are generalizations of classical representations of real numbers. The main properties of investigating representations are described. The results are represented in International Conference of Yung Mathematicians, June 3-6, 2015, Kyiv.

연구 동기 및 목표

• 기존의 표현 방식을 확장하는 새로운 일반화된 실수 숫자 체계를 개발하고 분석한다.
• 실수 x가 기수 s와 색인의 부분집합 NB를 사용한 번갈아가는 부호 급수로 표현될 수 있는 조건을 조사한다.
• 그러한 체계로 표현 가능한 실수의 집합을 특성화하고, 표현이 유일한지 또는 다중으로 가능한지 판단한다.
• 변환 함수를 통해 이러한 일반화된 표현과 표준 s진법 전개 간의 대응 관계를 수립한다.

제안 방법

• 고정된 기수 s > 1와 자연수의 엄격히 증가하는 수열 B = (bn)을 사용하여 ' quasi-negative s-expansion '의 개념을 도입한다.
• n ∈ NB이면 δn = 1, 그 외에는 δn = 2로 정의하는 부호 함수를 정의하고, x = ∑(−1)δn αn / sⁿ (αn ∈ {0, 1, ..., s−1})의 급수로 표현한다.
• 극한 자릿수열 βn과 γn을 사용하여 표현 가능한 구간의 하한 x₀′과 상한 x₀′′을 확립한다.
• NB에 속하는지 여부에 기반한 사례 분석과 재귀적 간격 분할을 통해 [x₀′, x₀′′] 내 모든 x에 대한 표현 존재성을 증명한다.
• quasi-negative s-expansion에 ∑(s−1)/sᵇⁿ을 더하면 표준 s진법 전개가 되는 변환 보조정리를 도입한다.
• n과 n+1이 모두 NB에 속하거나 다른 조합일 경우 자릿수가 다를 때의 표현을 비교하여 비유일성의 명시적 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 x에 대해, δn이 NB에 속함에 따라 정의되는 수열 (αn)이 존재하여 x = ∑(−1)δn αn / sⁿ를 만족하는가?
• RQ2 기수 s와 부분집합 NB에 따라 표현 가능한 실수의 범위는 무엇인가?
• RQ3 실수가 이러한 표현을 더 이상 하나로 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 표현의 비유일성은 어떻게系통적으로 특성화하고 분류할 수 있는가?
• RQ5 이러한 일반화된 표현과 표준 s진법 전개 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 재귀적 간격 분할과 사례 분석을 통해 증명된 lin, [x₀′, x₀′′] 내 모든 실수는 적어도 하나의 quasi-negative s-expansion을 갖는다.
• 하한 x₀′은 n ∈ NB이면 βn = s−1, 그 외에는 βn = 0인 수열로 달성되며, 상한 x₀′′는 n ∉ NB이면 γn = s−1, 그 외에는 γn = 0인 수열로 달성된다.
• 비유일성은 연속적인 색인 n과 n+1이 NB에 속하는지 여부에 따라 정확히 네 가지 경우로 발생하며, 명시적인 변환 규칙이 제공된다.
• 변환 보조정리는 직접적인 대응 관계를 수립한다: quasi-negative s-expansion에 ∑(s−1)/sᵇⁿ을 더하면 표준 s진법 전개가 된다.
• 비유일성의 네 가지 경우는 NB에 속하는 위치에서 s−1−αn으로, 그리고 인접한 위치에서 0 또는 s−1로 이루어진 자릿수 기반 변환으로 완전히 특성화된다.
• 이러한 일반화된 표현의 척도적 및 프랙탈 성질은 표준 s진법 표현과 동일하다.