[논문 리뷰] On Some Geometric Properties Of Sequence Space Defined By de la Vallee-Poussin Mean

Necip Şi̇mşek|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 07.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 데 라 발리에-푸생 평균을 사용하여 정의된 수열 공간 $ V_p(\lambda) $의 기하적 성질을 조사하며, $ 1 < p < \infty $ 일 때 $ k $-거의 균일하게 볼록($ k\text{-NUC} $) 및 균일 옵앨 성질을 만족함을 증명한다. 주요 기여는 이러한 기하적 특성들을 통해 근본성, UKK 성질 및 둥근 성질을 확립하는 데 있다.

ABSTRACT

In this work, we investigate k-nearly uniform convex(k-NUC) and the uniform Opial properties of the sequence space defined by de la Vallee-Poussin mean. Also we give some corollaries concerning the geometrical properties of this space.

연구 동기 및 목표

• 데 라 발리에-푸생 평균을 통해 정의된 수열 공간 $ V_p(\lambda) $의 기하적 구조를 분석하는 것.
• $ V_p(\lambda) $가 $ k $-거의 균일하게 볼록($ k\text{-NUC} $) 성질을 만족하는지 결정하는 것.
• $ V_p(\lambda) $가 균일 옵앨 성질을 지니는지 검토하는 것.
• 기하적 성질에 기반하여 근본성, UKK 성질 및 둥근 성질에 대한 추론을 도출하는 것.

제안 방법

• 수열 $ \lambda = (\lambda_n) $의 양수 실수로 구성된 데 라 발리에-푸생 평균을 사용하여 공간 $ V_p(\lambda) $를 정의한다.
• $ k\text{-NUC} $ 성질은, 임의의 $ \varepsilon > 0 $에 대해 $ \delta > 0 $ 가 존재하여, 단위 구내의 $ \varepsilon $-분리된 수열에 대해 $ k $개 원소의 평균의 노름이 $ 1 - \delta $ 보다 작아지는 것으로 입증한다.
• 균일 옵앨 성질은, 단위 구면에 속한 약한 영인 수열 $ \{x_m\} $ 과 $ \|x\| \geq \varepsilon_0 $ 인 임의의 $ x \in X $ 에 대해, $ \|x_m + x\| $ 의 하한극한이 1보다 균일하게 큰 값을 가짐을 증명함으로써 확립한다.
• 합과 차의 노름을 추정하기 위해 $ \ell^p $-노름과 삼각부등식을 이용한 부등식이 사용된다.
• 증명은 약한 영인 수열을 구성하고, 절단 및 노름 분해 기법을 사용하여 단위 구 내에서의 행동을 추정하는 데 의존한다.
• 근본성, UKK 및 둥근 성질과 같은 바나흐 공간의 성질을 포함한 기능해석학 이론적 결과가 추론을 도출하는 데 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ 1 < p < \infty $ 일 때, 데 라 발리에-푸생 평균을 통해 정의된 수열 공간 $ V_p(\lambda) $ 는 $ k $-거의 균일하게 볼록 성질을 만족하는가?
• RQ2 $ 1 < p < \infty $ 일 때, $ V_p(\lambda) $ 는 균일 옵앨 성질을 지니는가?
• RQ3 $ k\text{-NUC} $ 및 균일 옵앨 성질이 $ V_p(\lambda) $ 의 기하적 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 $ V_p(\lambda) $ 는 근본적인가, 그리고 UKK 성질을 만족하는가?
• RQ5 $ k\text{-NUC} $ 성질이 $ V_p(\lambda) $ 가 완전히 $ k $-둥근 성질($ kR $) 및 둥근 성질을 지닌다는 것을 의미하는가?

주요 결과

• $ V_p(\lambda) $ 는 모든 정수 $ k \geq 2 $ 와 $ 1 < p < \infty $ 에 대해 $ k $-거의 균일하게 볼록($ k\text{-NUC} $) 성질을 만족한다.
• $ V_p(\lambda) $ 는 균일 옵앨 성질을 지닌다. 즉, 임의의 약한 영인 수열 $ \{x_m\} $ 과 $ \|x\| \geq \varepsilon_0 $ 인 임의의 $ x \in X $ 에 대해 $ \liminf_{m \to \infty} \|x_m + x\| \geq 1 + \varepsilon_0/2 $ 이 성립한다.
• $ k\text{-NUC} $ 성질의 결과로 $ V_p(\lambda) $ 는 근본적이다. 왜냐하면 $ k\text{-NUC} $ 는 $ \text{NUC} $ 를 함의하고, $ \text{NUC} $ 는 근본성을 함의하기 때문이다.
• $ V_p(\lambda) $ 는 균일 카데크-클리프(Kadec-Klee) 성질(즉, UKK 성질)을 만족한다. 왜냐하면 $ k\text{-NUC} $ 는 $ \text{NUC} $ 를 함의하고, $ \text{NUC} $ 공간은 알려진 바에 따라 UKK 성질을 가진다.
• $ V_p(\lambda) $ 는 모든 $ k \geq 2 $ 에 대해 완전히 $ k $-둥근 성질($ kR $)을 만족한다. 왜냐하면 $ k\text{-NUC} $ 는 $ kR $ 을 함의하기 때문이다.
• $ V_p(\lambda) $ 는 둥근 성질을 지닌다. 왜냐하면 $ kR $ 은 둥근 성질을 함의하고, 공간이 모든 $ k \geq 2 $ 에 대해 완전히 $ k $-둥근 성질을 가지기 때문이다.