[논문 리뷰] On some inequalities for different kinds of convexity

Merve Avcı Ardıç, M. Emіn Özdemіr|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 17.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\varphi$-composition $f \circ \varphi$를 분석하여, $\varphi_s$-볼록, $\varphi$-Godunova-Levin, $\varphi$-$P$, 및 $\varphi$-준볼록 함수를 포함한 다양한 일반화된 볼록 함수에 대해 새로운 부등식을 수립한다. $\varphi$에 대한 특정 조건(선형성 또는 볼록성)과 $f$에 대한 조건(단조성)이 만족될 경우, 병합된 함수가 일반화된 볼록성 성질을 유지함을 증명하며, 관련된 적분 및 가중 부등식을 수반하는 새로운 $\varphi$-준볼록 함수의 클래스를 도입한다.

ABSTRACT

In this paper, we obtained some inequalities for ϕ_{s}-convex function, ϕ-Godunova-Levin function, ϕ-P-function and log-ϕ-convex function. Finally, we defined the class of ϕ-quasi-convex functions and we examined some properties of this class.

연구 동기 및 목표

• 변환 $\varphi$를 포함하는 일반화된 함수 클래스로 고전적 볼록성 부등식을 확장하기 위해.
• 특정 일반화된 볼록성 클래스에 속하는 $f$에 대해 병합 함수 $f \circ \varphi$의 성질을 조사하기 위해.
• 새로운 함수 클래스인 $\varphi$-준볼록 함수를 정의하고 분석하기 위해.
• 이러한 일반화된 볼록 함수에 대해 새로운 적분 및 가중 부등식을 도출하기 위해.
• $f \circ \varphi$가 $f$와 $\varphi$의 볼록성 성질을 유지할 수 있는 충분한 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 함수 $\varphi$와 제어 함수 $h$를 통해 $\varphi_h$-볼록성을 정의함으로써 일반화된 볼록성 클래스를 정의한다.
• 함수 $f(t\varphi(x) + (1-t)\varphi(y)) \leq \max\{f(\varphi(x)), f(\varphi(y))\}$를 만족하는 새로운 클래스인 $\varphi$-준볼록성을 도입한다.
• $\varphi_s$-볼록 및 $\varphi$-Godunova-Levin 함수에 대해 가중 부등식을 증명하기 위해 귀납법과 반복적 치환을 사용한다.
• $f$와 $\varphi$에 대한 단조성 및 볼록성 가정을 적용하여 병합 성질을 도출한다.
• 변수 치환과 $[0,1]$에서의 적분을 통해 부등식을 적분 형태로 변환한다.
• 볼록 조합의 구조와 가중치의 정규화($\sum t_i = 1$)를 활용하여 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $f$가 $\varphi_s$-볼록일 경우, $\varphi$가 선형이면 병합 함수 $f \circ \varphi$는 어떤 조건에서 두 번째 의미의 $s$-볼록성을 유지하는가?
• RQ2 $f$가 $\varphi$-Godunova-Levin 성질을 가지며 $\varphi$가 선형 또는 볼록일 경우, $f \circ \varphi$의 행동은 어떻게 영향을 받는다?
• RQ3 $\varphi$-준볼록성은 $[\varphi(x), \varphi(y)]$에서 $f$의 적분 평균에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 재귀적 분해를 통해 $\varphi_s$-볼록 및 $\varphi$-Godunova-Levin 함수에 대해 가중 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ5 $f$의 단조성과 $\varphi$의 볼록성이 병합 함수에서 일반화된 볼록성을 유지하는 데 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 만약 $f$가 $\varphi_s$-볼록이며 $\varphi$가 선형이면, $f \circ \varphi$는 두 번째 의미의 $s$-볼록성을 갖는다.
• 만약 $f$가 $\varphi_s$-볼록이면서 증가하고 $\varphi$가 볼록이면, $f \circ \varphi$는 두 번째 의미의 $s$-볼록성을 갖는다.
• $\varphi_s$-볼록인 $f$와 합이 1인 가중치 $t_i$에 대해 $f\left(\sum t_i \varphi(x_i)\right) \leq \sum t_i^s f(\varphi(x_i))$가 성립한다.
• 만약 $f$가 $\varphi$-Godunova-Levin이고 $\varphi$가 선형이면, $f \circ \varphi$는 준볼록 함수의 클래스 $Q(I)$에 属한다.
• $\varphi$-준볼록인 $f$에 대해 $\frac{1}{\varphi(y)-\varphi(x)}\int_{\varphi(x)}^{\varphi(y)} f(u) du \leq \max\{f(\varphi(x)), f(\varphi(y))\}$가 성립한다.
• $\varphi$-준볼록인 $f$와 합이 1인 가중치 $t_i$에 대해 $f\left(\sum t_i \varphi(x_i)\right) \leq \max_{1 \leq i \leq n} f(\varphi(x_i))$가 성립한다.