[논문 리뷰] On some integrals involving the Hurwitz zeta function: part 2

Olivier Espinosa, Victor H. Moll|ArXiv.org|2001. 07. 11.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 27인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 히르체츠 제타 함수 및 다이감마, 로그 감마, 로그 사인 함수와 같은 관련 특수 함수를 포함하는 명시적 부정적분 공식을 유도한다. 적분 by parts와 음의 정수에서 히르체츠 제타 함수의 도함수 성질을 이용하여 저자들은 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $ 가족을 도입하며, 이는 $ \ln\Gamma(q) $, $ \ln\sin(\pi q) $, 그리고 다이감마 함수를 포함하는 적분의 닫힌 형태 평가를 가능하게 한다. 이는 이전 연구의 결과를 새로운 해석적 표현과 정적분 평가로 확장한다.

ABSTRACT

We establish a series of indefinite integral formulae involving the Hurwitz zeta function and other elementary and special functions related to it, such as the Bernoulli polynomials, ln sin (πq), ln Gamma(q) and the polygamma functions. Many of the results are most conveniently formulated in terms of a family of functions A_k(q):=k zeta'(1-k,q), where k is a natural number, and a family of polygamma functions of negative order, whose properties we study in some detail.

연구 동기 및 목표

• 히르체츠 제타 함수를 포함하는 적분의 평가를 정적분을 넘어서 부정적분 형태로 확장하는 것.
• 모든 자연수 $ k \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k,q) $ 라는 함수의 가족을 도입하고 연구하는 것. 이는 음의 정수에서 제타 함수 도함수의 일반화를 제공한다.
• 함수 $ A_k(q) $ 의 성질을 이용하여 $ \ln\Gamma(q) $, $ \ln\sin(\pi q) $, 그리고 다이감마 함수의 적분에 대한 닫힌 형태 표현을 도출하는 것.
• 기존의 정적분 평가 결과 [7]를 새로운 부정적분 프레임워크를 사용하여 재유도하고 확장하는 것.

제안 방법

• 형태 $ \int f(q)\zeta(z, a + bq)\,dq $ 의 적분에 대해 부분 적분을 적용하며, 도함수 항등식 $ \frac{\partial}{\partial q}\zeta(z-1, a + bq) = b(1-z)\zeta(z, a + bq) $ 를 활용한다.
• 부정적분에서 $ \ln\Gamma(q) $, $ \ln\sin(\pi q) $, 그리고 음의 다이감마 함수를 포함하는 적분을 표현하기 위해 중심 도구로 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ 를 도입한다.
• 히르체츠 제타 함수의 푸리에 표현식과 적분 표현식을 사용하여 항등식과 점점 가까운 행동을 유도한다.
• gamma 함수의 반사 공식과 레르히의 항등식 $ \ln\Gamma(q) = \zeta'(0,q) - \zeta'(0) $ 을 사용하여 제타 함수 도함수와 로그 감마 적분을 연결한다.
• 리만 제타 함수의 함수 방정식을 적용하여 $ \zeta'(-1) $ 를 $ \zeta'(2) $ 로 표현함으로써 정적분의 상수 평가를 가능하게 한다.
• 대칭성과 특수값을 이용하여 $ [0,1] $ 또는 $ [0,1/2] $ 과 같은 간격에서의 정적분을 평가함으로써 새로운 정적분을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 적분과 매개변수 미분을 이용하여 히르체츠 제타 함수 $ \zeta(z, q) $ 를 포함하는 부정적분을 닫힌 형태로 평가할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ 는 $ \ln\Gamma(q) $, $ \ln\sin(\pi q) $, 그리고 다이감마 함수의 적분을 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 부정적분 프레임워크를 사용하여 $ \int_0^1 q^n \zeta(z,q)\,dq $ 와 유사한 형태의 알려진 정적분 평가를 재유도하고 일반화할 수 있는가?
• RQ4 음의 정수에서 $ \zeta'(z,q) $ 의 성질은 음의 다이감마 함수와 로그 감마 함수의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 $ [0,1] $ 또는 $ [0,1/2] $ 에서의 부정적분을 평가할 때, 특히 $ \ln\sin(\pi q) $ 와 $ \ln\Gamma(q) $ 에 대해 어떤 새로운 정적분 항등식이 도출되는가?

주요 결과

• 부정적분 $ \int q^n \zeta(z, a + bq)\,dq $ 는 $ \zeta(z-k, a + bq) $ 를 포함하는 유한 합으로 표현되며, 계수는 Pochhammer 기호 $ (1-z)_k $ 에 따라 달라지며, $ n \in \mathbb{N}_0 $ 에 대해 유효하다.
• 함수 $ A_k(q) = k\zeta'(1-k, q) $ 가 도입되었으며, 이는 $ \ln\Gamma(q) $, $ \ln\sin(\pi q) $, 그리고 음의 다이감마 함수의 적분 평가에 필수적임을 보였다.
• $ \int_0^1 q^n \ln\sin(\pi q)\,dq $ 의 결과는 $ -\frac{\ln 2}{n+1} + n!\sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^k \zeta(2k+1)}{(2\pi)^{2k}(n+1-2k)!} $ 이며, $ n=1,2,3 $ 에 대한 명시적 값이 제공된다.
• 적분 $ \int_0^1 (\ln\Gamma(q))^2\,dq $ 는 $ \frac{\gamma^2}{12} + \frac{\pi^2}{48} + \frac{1}{3}\gamma\ln\sqrt{2\pi} + \frac{4}{3}\ln^2\sqrt{2\pi} - \frac{\gamma + 2\ln\sqrt{2\pi}}{\pi^2}\zeta'(2) + \frac{\zeta''(2)}{2\pi^2} $ 로 평가되었으며, 기존에 알려진 결과를 확인한다.
• 적분 $ \int_0^1 \psi^{(-k)}(q)\psi^{(-k')}(q)\,dq $ 는 $ \frac{2\cos\left(\frac{(k-k')\pi}{2}\right)}{(2\pi)^{k+k'}}\left[ \zeta''(k+k') - 2(\gamma + \ln 2\pi)\zeta'(k+k') + \left( (\gamma + \ln 2\pi)^2 + \frac{\pi^2}{4} \right)\zeta(k+k') \right] $ 로 유도되었으며, $ k,k' \in \mathbb{N} $ 에 대해 유효하다.