[논문 리뷰] On some multicolour Ramsey properties of random graphs

Andrzej Dudek, Paweł Prałat|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 11.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 그래프에서 경로의 다색 크기-람지 수에 대한 경계를 향상시킨다. $ r \geq 2 $일 때, $ pn \to \infty $인 랜덤 그래프 $ \mathcal{G}(n,p) $는 거의확실하게($\text{a.a.s.}$) 임의의 $ r $-색칠에서 길이 $ (1/r - \alpha)n $의 단색 경로를 포함하며, 크기 $ (1/(r-1) - \alpha)n $의 단색 연결성분을 포함한다. 경로의 크기-람지 수에 대해 더 날카운 상한과 하한을 확립하여 상한을 $ 74n $으로 줄이고, 하한을 $ 5n/2 - O(1) $로 증명한다. 이러한 결과는 $ \alpha $-항을 제외하고 최적이며, 기존의 극값 결과를 희박한 랜덤 그래프로 확장한다.

ABSTRACT

The size-Ramsey number $\hat{R}(F)$ of a graph $F$ is the smallest integer $m$ such that there exists a graph $G$ on $m$ edges with the property that any colouring of the edges of $G$ with two colours yields a monochromatic copy of $F$. In this paper, first we focus on the size-Ramsey number of a path $P_n$ on $n$ vertices. In particular, we show that $5n/2-15/2 \le \hat{R}(P_n) \le 74n$ for $n$ sufficiently large. (The upper bound uses expansion properties of random $d$-regular graphs.) This improves the previous lower bound, $\hat{R}(P_n) \ge (1+\sqrt{2})n-O(1)$, due to Bollobás, and the upper bound, $\hat{R}(P_n) \le 91n$, due to Letzter. Next we study long monochromatic paths in edge-coloured random graph $G(n,p)$ with $pn o \infty$. Let $α> 0$ be an arbitrarily small constant. Recently, Letzter showed that a.a.s.\ any $2$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(2/3-α)n$, which is optimal. Extending this result, we show that a.a.s.\ any $3$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/2-α)n$, which is also optimal. In general, we prove that for $r\ge 4$ a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/r-α)n$. We also consider a related problem and show that for any $r \ge 2$, a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic connected subgraph on $(1/(r-1)-α)n$ vertices, which is also tight.

연구 동기 및 목표

• 두 색깔 간선 칠하기에서 경로에 대한 크기-람지 수 $ \hat{R}(P_n) $의 상한과 하한을 향상시키는 것.
• 완전 그래프에서의 단색 경로 및 성분에 대한 기존 결과를 $ pn \to \infty $인 희박한 랜덤 그래프 $ \mathcal{G}(n,p) $로 확장하는 것.
• 다색 간선 칠하기에서 랜덤 그래프에서 가장 긴 단색 경로와 성분의 최적 길이를 결정하여 경계의 날카로움을 보여주는 것.

제안 방법

• 극값 그래프 이론과 성분 크기 분석을 이용해 일반적인 하한을 증명하여, 두 색깔에 대해 $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $를 도출한다.
• 랜덤 $ d $-정규 그래프의 확산 성질을 활용하여 $ O(n) $개의 간선을 가진 그래프를 구성함으로써 단색 $ P_n $를 강제하는 상한 $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $을 이끌어낸다.
• 레츠터의 방법을 두 색깔에서 세 색 이상으로 확장하여, 확률론적 및 극값적 추론을 사용해 $ pn \to \infty $이면 $ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{(1/r - \alpha)n})_r $가 거의확실하게 성립함을 보인다.
• 이분 성분 보조정리(Lemma 5.5)를 적용하여 희박한 그래프에서 단색 성분의 크기를 제한하여, $ (1/(r-1) - \alpha)n $이 최적임을 보인다.
• $ \mathcal{G}(n,p) $와 $ \mathcal{G}_{n,d} $ 간의 쌍정렬을 이용해 결과를 $ d \gg \log n $인 $ d $-정규 모델으로 확장한다.
• 기존의 완전 그래프 결과(예: $ K_n \to P_{(2/3+o(1))n} $)를 확률론적 및 극값적 기법을 통해 랜덤 그래프로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 그래프에서 두 색깔 간선 칠하기에 대한 경로의 최적 상한 경계 $ \hat{R}(P_n) $는 무엇인가?
• RQ2 다색 $ \mathcal{G}(n,p) $에서 가장 긴 단색 경로의 길이를 $ (1/r - \alpha)n $을 초월해 향상시킬 수 있으며, 이 경계는 최적인가?
• RQ3 다색 $ \mathcal{G}(n,p) $에서 가장 큰 단색 성분의 크기는 $ K_n $에서의 크기와 어떻게 비교되며, 경계 $ (1/(r-1) - \alpha)n $은 최적인가?
• RQ4 $ \hat{R}(P_n, r) $의 크기-람지 수는 $ r $에 대해 지수적일까 다항식적일까? 그 점근적 성장률은 무엇인가?
• RQ5 $ \mathcal{G}(n,p) $에 대한 결과는 $ d = \Omega(\log n) $인 $ d $-정규 랜덤 그래프 모델 $ \mathcal{G}_{n,d} $로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 큰 $ n $에 대해 경로 $ P_n $의 크기-람지 수는 $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $를 만족하며, 이는 이전의 상한 $ 91n $을 향상시킨다.
• 기존의 볼로바스의 $ (1+\sqrt{2})n - O(1) $를 초월하여, 새로운 하한 $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $를 확립한다.
• 모든 $ r \geq 2 $에 대해, 거의확실하게 $ \mathcal{G}(n,p) $에서 $ pn \to \infty $이면 임의의 $ r $-간선 칠하기에서 길이 $ (1/r - \alpha)n $의 단색 경로가 존재하며, 이는 최적이다.
• 모든 $ r \geq 2 $에 대해, 거의확실하게 $ \mathcal{G}(n,p) $에서 임의의 $ r $-간선 칠하기에서 $ (1/(r-1) - \alpha)n $개 정점의 단색 연결 부분그래프가 존재하며, 이 역시 최적이다.
• $ d \gg \log n $인 $ \mathcal{G}_{n,d} $ 모델로 결과가 확장되며, 이는 $ \mathcal{G}(n,p) $와의 쌍정렬 덕분이다.
• 다음과 같은 최적 상수 $ c_r $의 정확한 값은 $ r \geq 4 $일 때까지 알려져 있지 않다: $ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{c_r n})_r $, 비록 $ 1/r \leq c_r \leq 1/(r-1) $임은 알려져 있다.