[논문 리뷰] On Some New Hermite-Hadamard type inequalities for s-geometrically convex functions

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 01.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 도함수와 로그 평균 변환을 포함하는 적분 항등식을 사용하여 s-기하학적 볼록 함수에 대한 새로운 헤르무이트-하다마르드 유형 적분 부등식을 수립한다. 주요 기여는 끝점의 기하평균에서 함수 값의 기하평균과 적분 평균 사이의 날카운 부등식을 규명한 것으로, 양의 실수의 특수 평균에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, some new integral inequalities of Hermite-Hadamard type related to the s-geometrically convex functions are established and some applications to special means of positive real numbers are also given.

연구 동기 및 목표

• s-기하학적 볼록 함수에 대한 헤르무이트-하다마르드 유형의 새로운 적분 부등식을 유도하는 것.
• 일반화된 볼록성에 s-파라미터를 통합하여 기존의 기하학적 볼록 함수 결과를 확장하는 것.
• 로그 평균과 함수의 기하평균을 포함하는 날카운 부등식을 수립하는 것.
• 유도된 부등식을 양의 실수의 특수 평균, 예를 들어 산술평균, 기하평균, 로그 평균, 및 p-로그 평균에 적용하는 것.
• s-기하학적 볼록성에 기반하여 기하평균의 제곱과 적분 평균을 포함하는 표현에 대한 경계를 제공하는 것.

제안 방법

• 기하평균과 로그 변환을 포함하는 부분 적분과 변수 치환을 사용하여 적분 항등식을 유도한다.
• t ∈ [0,1] 에 대해 f(a^{1-t}(ab)^{t/2}) 와 f(b^{1-t}(ab)^{t/2}) 를 포함하는 매개변수화된 적분 표현을 도입한다.
• s-기하학적 볼록성의 정의를 적용: s ∈ (0,1] 에 대해 f(x^λ y^{1-λ}) ≤ f(x)^{λ^s} f(y)^{(1-λ)^s} .
• 도함수 |f'(x)|^q 에 대한 L^q 노름과 최대값 경계를 사용하여 잔여 적분을 추정한다.
• 기존의 평균 부등식(산술, 기하, 로그, p-로그)을 적용하여 정량적 경계를 도출한다.
• q ≥ 1 과 q > 1 의 서로 다른 노름 조건을 가진 두 가지 주요 정리(정리 1 및 정리 2)를 수립하여 각각 다른 상한을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르무이트-하다마르드 유형 부등식은 s-기하학적으로 볼록 함수로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 미분 가능하고 s-기하학적으로 볼록인 함수에 대해 로그 평균과 기하평균을 포함하는 어떤 적분 항등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 유도된 부등식은 A, G, L, 및 L_p 와 같은 고전적 특수 평균과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 함수 값의 기하평균과 적분 평균 사이의 차이에 대한 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ5 경계는 s ∈ (0,1] 에서의 파라미터와 |f'(x)|^q 의 적분 가능성 조건에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 논문은 날카운 부등식을 수립한다: f^2(\sqrt{ab}) ≤ \frac{1}{\ln b - \ln a} \int_a^b \frac{f(x)}{x} f\left(\frac{ab}{x}\right) dx ≤ f(a)f(b) , 이는 s-기하학적으로 볼록하고 단조 감소하는 함수에 대해 유효하다.
• f(x) = \frac{x^s}{s} + 1 이 (0,1] 에서 0 < s < 1 일 때, 도함수 |f'(x)|^q = x^{(s-1)q} 는 s-기하학적으로 볼록하므로 주요 정리의 적용이 가능하다.
• 제1보조정리에서는 다음과 같은 경계를 제공한다: \left| G^2(\cdot) - \cdots \right| \leq \frac{1}{G^{(s-1)^2}(a,b)} \left( \frac{1}{(s^2 - s + 1)q} \right)^{1/q} \left( \frac{b-a}{4L(a,b)} \right)^{1-1/q} \times \left[ M_1 G(a^{-(s-1)^2}, b^s) \{ L(a^{\cdots}, b^{\cdots}) - a^{\cdots} \}^{1/q} + M_2 G(b^{-(s-1)^2}, a^s) \{ b^{\cdots} - L(\cdots) \}^{1/q} \right] .
• 제2보조정리는 다른 노름 요소를 가진 유사한 경계를 제공한다: \frac{b-a}{2L(a,b)} \left( \frac{q-1}{2q-1} \right)^{1-1/q} \frac{L^{1/q}(a^{\cdots}, b^{\cdots})}{G^{(s-1)^2}(a,b)} \times \{ M_1 G(\cdots) + M_2 G(\cdots) \} .
• 이 경계들은 날카롭고 s, q, 그리고 특수 평균 A, G, L, L_p 에 대해 명시적으로 의존하며, s-기하학적 볼록성이 고전적 부등식을 정교화하는 데의 유용성을 보여준다.
• 이 결과들은 투른 및 다른 이들의 이전 결과를 일반화하고 개선하였으며, 특히 s-파라미터와 도함수에 대한 L^q 노름 추정을 통합함으로써 더욱 정교화되었다.