[논문 리뷰] On some probabilistic properties of periodic GARCH processes

Abdelouahab Bibi, Abdelhakim Aknouche|ArXiv.org|2007. 09. 19.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 s개의 제도에서 주기적으로 변동성 파라미터가 전환되는 주기적 GARCH(PGARCH) 과정에서 엄밀한 정상성 및 이차 정상성, 고차모멘트 존재성, 기하적 에르고딕성, β-혼합성에 대한 충분조건을 수립한다. 벡터 자기회귀 마코프 표현을 통해 저자들은 정상성과 모멘트 존재성을 보장하는 해석 가능한 스펙트럼 반경 조건을 유도하였으며, 표준 GARCH 이론을 재정비하여 금융 시계열 모델링에 적용 가능한 주기적 동역학으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper examines some probabilistic properties of the class of periodic GARCH processes (PGARCH) which feature periodicity in conditional heteroskedasticity. In these models, the parameters are allowed to switch between different regimes, so that their structure shares many properties with periodic ARMA process (PARMA). We examine the strict and second order periodic stationarities, the existence of higher-order moments, the covariance structure, the geometric ergodicity and -mixing of the PGARCH(p,q) process under general and tractable assumptions. Some examples are proposed to illustrate the various concepts.

연구 동기 및 목표

• 주기적 GARCH(PGARCH) 과정에서 제도 전환을 고려한 엄밀한 정상성 및 이차 정상성에 대한 충분조건을 수립한다.
• 일반적이고 해석 가능한 가정 하에서 PGARCH 모델의 고차모멘트 존재성을 조사한다.
• PGARCH(p,q) 과정의 공분산 구조 및 기하적 에르고딕성을 분석한다.
• 엄밀한 정상성 PGARCH 해가 유한한 고차모멘트를 가지며 지수적 β-혼합성이 되는 조건을 유도한다.
• 표준 GARCH 모델의 확률론적 이론을 주기적 설정으로 확장하면서도 수학적 해석 가능성은 유지한다.

제안 방법

• 제곱 잔차와 조건부 분산을 위한 벡터 자기회귀 마코프 표현을 구성하여 비선형 PGARCH 모델을 선형 상태공간 형태로 변환한다.
• 상태 벡터의 진동을 랜덤 계수로 표현하기 위해 크로네커乘과 벡터화된 행렬을 사용한다.
• 무한 행렬 곱의 수렴성을 기반으로 엄밀한 정상성을 보장하기 위해 계수 행렬 A(0)의 스펙트럼 반경 조건을 도출한다.
• 노름 기반의 이탈 조건을 사용하여 리아푸노프 함수 기법을 적용해 기하적 에르고딕성과 지수적 β-혼합성을 증명한다.
• 잔차 분포의 모멘트 조건 하에서 모멘트 생성 함수의 경계와 재귀적 모멘트 방정식을 통해 모멘트 존재성을 분석한다.
• 해석 가능한 예시를 통해 이론적 결과의 타당성을 검증하며, 다양한 파rameter 제도 하에서 PGARCH 과정의 행동을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수들이 s개 제도 간 주기적으로 전환될 때, PGARCH 과정이 엄밀한 정상성을 가지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 PGARCH(p,q) 과정의 이차 정상성에 대한 필수 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 고차모멘트(예: 4차모멘트)가 PGARCH 모델에서 존재하는 조건는 무엇이며, 이는 계수 행렬의 스펙트럼 반경과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 엄밀한 정상성 PGARCH 과정에서 기하적 에르고딕성과 지수적 β-혼합성이 보장되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 모멘트 조건 하에서 PGARCH 과정의 공분산 구조는 주기적 AR (PAR) 과정과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 행렬 A(0)의 스펙트럼 반경이 1보다 작을 경우, PGARCH 과정은 엄밀한 정상성을 확보한다. 여기서 A(0)는 모든 계절 제도에서의 계수 행렬을 종합한 것이다.
• 주기 동안 계수 행렬의 곱의 스펙트럼 반경이 1보다 작을 경우, 이차 정상성이 성립하며 이는 유한한 분산을 보장한다.
• 스펙트럼 반경 조건이 만족되고 잔차가 충분한 모멘트를 가진다면, p차 모멘트까지 존재하며, 리아푸노프 함수를 통해 명시적인 경계가 도출된다.
• 동일한 스펙트럼 반경 조건 하에서 PGARCH 과정은 기하적 에르고딕성과 지수적 β-혼합성을 가지며, 이는 지수 감소를 보이는 강한 혼합성을 의미한다.
• 모멘트 조건 하에서 PGARCH 과정의 공분산 구조는 주기적 AR (PAR) 과정과 유사하며, PGARCH를 선형 주기적 시계열 모델과 연결한다.
• 벡터 자기회귀 표현은 s=1일 경우 표준 GARCH 모델의 수학적 해석 가능성과 동일하게 유지되며, 이는 주기적 동역학으로의 확장이 타당함을 검증한다.