[논문 리뷰] On some projective unitary qutrit gates

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $SU(2)$ 초전도체 이론의 수준 4에서 anyonic 끈감과 융합 작용을 통해 유도된 프로젝티브 유니터리 큐트리트 게이트 집합으로서, $SU(3)$의 유한부분군인 $D(18,1,1;2,1,1)$ 군의 물리적 실현을 제공한다. 논문은 큐트리트 $2222$ 시스템을 위한 새로운 기저를 도입하고, 프리드먼 군을 $D(18,1,1;2,1,1)$과 동형으로 재해석하며, 끈감과 간섭 측정을 이용해 큐비트 $1221$에 대한 새로운 보조 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$를 구성하여, 누출이 없는 프로토콜을 통해 보편 양자 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

As part of a protocol, we braid in a certain way six anyons of topological charges $222211$ in the Kauffman-Jones version of $SU(2)$ Chern-Simons theory at level $4$. The gate we obtain is a braid for the usual qutrit $2222$ but with respect to a different basis. With respect to that basis, the Freedman group of \cite{LEV} is identical to the $D$-group $D(18,1,1;2,1,1)$. We give a physical interpretation for each Blichfeld generator of the group $D(18,1,1;2,1,1)$. Inspired by these new techniques for the qutrit, we are able to make new ancillas, namely $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,+|3>)$ and $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,-|3>)$, for the qubit $1221$.

연구 동기 및 목표

• 이론적 수준 4에서 $SU(2)$ 초전도체 이론의 anyonic 끈감 맥락에서 $D(18,1,1;2,1,1)$ 군의 물리적 해석을 제공한다.
• 기저를 재정의함으로써 순서 648인 프리드먼 군을 $D(18,1,1;2,1,1)$과 동형으로 재해석한다.
• 끈감과 간섭 측정을 이용하여 큐비트 $1221$에 대한 새로운 보조 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$를 구성하고, 누출이 없는 조건을 만족시킨다.
• 네 개의 행렬이 anyonic 끈감과 융합 작용으로부터 유도된 $\overset{\sim}{\mathcal{G}} = D(18,1,1;2,1,1)$ 군을 생성하며, 그 중 하나의 생성자가 $\overset{\sim}{G_2}$의 거듭제곱으로 표현될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 논문은 큐트리트 $2222$ 시스템에 대해 새로운 기저 $\{e_1, e_2, e_3\} = \left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$를 도입하여, 기존의 끈감 행렬 $G_1$과 $G_2$를 새로운 생성자 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}$로 변환한다.
• 새로운 행렬 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$를 정의하고, 이는 4개의 전하 2를 가진 anyon에서의 끈감을 통해 물리적으로 실현되며, $\overset{\sim}{G_2}$가 생성하는 부분군과 동일한 부분군을 생성함을 보여준다.
• 전이 행렬 $O$를 통한 코너지에 의한 동형관계를 통해 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$ 군이 $D(18,1,1;2,1,1)$과 동형임을 증명하며, 이 기저에서 $|0\rangle$와 $|4\rangle$의 역할가 바뀐다.
• 융합 작용(Fusion FFO)을 이용하여 초기 군의 순서 162를 전체 군의 순서 648로 확장함으로써, $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$가 전체 $D(18,1,1;2,1,1)$ 군임을 확인한다.
• 융합 작용을 나타내는 행렬 $\overset{\sim}{FUM}$이 생성 집합에 포함됨을 증명하고, $\overset{\sim}{\mathcal{G}} = \langle \overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM} \rangle$임을 보이며, $N$이 $\overset{\sim}{G_2}$로부터 유도됨을 보여준다.
• 보조 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$는 큐비트 $2211$에 대해 단일 끈감 $\sigma_2$를 적용함으로써 구성되며, 이는 $|1\rangle$와 $|3\rangle$ 성분의 노름을 동일하게 유지하여 누출이 없는 조건을 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Blichfeld 생성자로 정의된 $D(18,1,1;2,1,1)$ 군은 anyonic 끈감과 융합 작용을 이용한 위상 양자 계산 모델에서 물리적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 큐트리트 $2222$ 시스템에서의 기저 변경은 프리드먼 군의 해석과 그 $D(18,1,1;2,1,1)$과의 동형관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 끈감과 간섭 측정을 이용하여 큐비트 $1221$에 대해 $|1\rangle$과 $|3\rangle$의 진폭이 동일한 새로운 보조 상태를 구성할 수 있으며, 이는 누출이 없는 조건을 만족하는가?
• RQ4 $\overset{\sim}{G_2}^{-4}$ 행렬 $N$은 새로운 기저에서 전하 2를 가진 4개의 anyon에서의 끈감을 통해 물리적으로 실현될 수 있는가? 그리고 이는 군의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$에 의해 생성된 군 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$는 전체 $D(18,1,1;2,1,1)$ 군과 일치하는가? 그리고 코너지에 의한 변환 하에서 프리드먼 군과 동형인가?

주요 결과

• $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$는 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$에 의해 생성되는 $SU(3)$의 순서 648인 유한부분군이며, $C_6 \times C_{18} \rtimes S_3$의 구조를 가지며 $D(18,1,1;2,1,1)$과 동형이다.
• $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$는 새로운 기저에서 전하 2를 가진 4개의 anyon에서의 끈감을 통해 물리적으로 실현 가능하며, $\overset{\sim}{G_2}$가 생성하는 부분군 내에 포함되어 있어 물리적 실현 가능성을 확인한다.
• 순서 648인 프리드먼 군 $Fr(162 \times 4)$는 표준 기저 $\{|0\rangle, |2\rangle, |4\rangle\}$를 새로운 기저 $\left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$로 변환하는 행렬 $O$를 통해 $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$와 코너지된다.
• $D(18,1,1;2,1,1)$의 Blichfeld 생성자는 $SU(2)$ 초전도체 이론 수준 4에서 anyonic 끈감과 융합 작용으로 물리적으로 실현되며, $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$는 $\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$에 의해 생성된 전체 군이다.
• 큐비트 $2211$에 대해 단일 $\sigma_2$ 끈감을 적용하면 $|1\rangle$과 $|3\rangle$ 성분의 노름이 동일하게 유지되어, 누출이 없는 간섭 프로토콜을 만족하는 보조 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$를 구성할 수 있다.
• $F(9,1,1)$ 행렬은 $F(9,1,1)^{-1} = \overset{\sim}{G_2} t_1$를 만족하고, $t_1 = \overset{\sim}{G_2}^9$ 이므로 $F(9,1,1) = \overset{\sim}{G_2}^8$임을 유도할 수 있다. 이는 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$가 $\overset{\sim}{G_2}$의 거듭제곱임을 확인하며, 물리적 실현 가능성을 뒷받침한다.