[논문 리뷰] On some properties of the manifolds with skew-symmetric torsion and holonomy SU(n) and Sp(n)

Anna Fino, Gueo Grantcharov|ArXiv.org|2003. 02. 28.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 히르미트 기하학에서 두 개의 추측에 반례를 제시한다: 첫째, 모든 초복소 다양체가 초카일러 구조를 갖는다는 것과, 둘째, 제1 체르니 클래스가 0인 컴팩트 복소 다양체가 SU(n)-홀로노미를 갖는 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량을 갖는다는 것. 노르말리프 군의 컴팩트 몫을 통해 저자들은 이러한 성질들이 작은 변형에 대해 안정적이지 않음을 보이며, 리 대수에서의 대칭화 기법과 불변 구조 분석을 통해 추측을 반증한다.

ABSTRACT

In this paper we provide examples of hypercomplex manifolds which do not carry HKT structure. We also prove that the existence of HKT structure is not stable under small deformations. Similarly we provide examples of compact complex manifolds with vanishing first Chern class which do not admit a Hermitian structure with restricted holonomy of its Bismut connection in SU(n). Again we prove that such property is not stable under small deformations.

연구 동기 및 목표

• 모든 초복소 다양체가 HKT 구조를 갖는다는 추측을 반증하기.
• 제1 체르니 클래스가 0인 컴팩트 복소 다양체가 SU(n)-홀로노미를 갖는 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량을 갖는다는 추측을 반증하기.
• HKT 구조의 존재성과 SU(n)-홀로노미 계량의 존재성이 작은 변형에 대해 안정적이지 않음을 보여주기.
• 노르말리프 군의 컴팩트 몫을 사용하여 불변 기하 구조를 갖는 구체적 예제를 구성하기.
• 전역 기하 문제를 리 대수에서의 불변 구조 문제로 줄이기 위해 대칭화 기법을 적용하기.

제안 방법

• 단순연결된 노르말리프 군 G의 컴팩트 몫 Γ\G를 사용하여 불변 기하 구조를 갖는 예제를 구성하기.
• 양측 불변 체적 형태를 통한 대칭화를 적용하여 전역 기하 문제를 리 대수에서의 불변 텐서 및 형식 조건으로 줄이기.
• 불변 히르미트 계량에서 비즈무트 접속과 그 리치 곡률을 분석하여 그것이 언제 0이 되는지 결정하기.
• 2단계 노르말리프 만에서 1-매개변수 가중 초복소 구조의 가중 가중치를 구성하여 HKT 구조 존재성이 변형에 대해 안정적이지 않음을 보여주기.
• 아와사와 다양체에서 복소 구조 J_{s,t}에 대해 3차 미분형식이 존재함을 이용하여 균형 잡힌 계량과 비즈무트 리치 곡률의 0을 연결하기.
• 도티, 피노, 살라몬, 파르톤의 결과를 활용하여 불변 구조에 기반해 원하는 계량의 존재하지 않음을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 초복소 다양체가 HKT 구조를 갖는가?
• RQ2 제1 체르니 클래스가 0인 모든 컴팩트 복소 다양체가 비즈무트 접속에서 SU(n)-홀로노미를 갖는 히르미트 계량을 갖는가?
• RQ3 HKT 구조 존재성은 작은 초복소 변형에 대해 안정적인가?
• RQ4 SU(n)-홀로노미 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량 존재성은 작은 복소 변형에 대해 안정적인가?
• RQ5 노르말리프 군의 컴팩트 몫이 이러한 추측에 대한 반례를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 2단계 노르말리프 만은 1-매개변수 가중 초복소 구조를 갖는다. 그 중 하나는 HKT 구조를 갖지만, 나머지는 갖지 않으며, 이는 HKT 존재성이 변형에 대해 안정적이지 않음을 증명한다.
• 아와사와 다양체에 1-매개변수 복소 구조 J_{s,t}가 존재할 때, 비즈무트 리치 곡률이 0이 되는 것과 동치인 히르미트 계량이 존재하는 것은 s=0일 때에만 성립한다.
• s≠0일 경우, 아와사와 다양체에서 불변 균형 잡힌 계량이 존재하지 않으며, 이는 SU(3)-홀로노미 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량이 존재하지 않음을 의미한다.
• 논문 [18]에서 제기한 추측, 즉 모든 컴팩트 복소 다양체가 c₁=0이면 SU(n)-홀로노미 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량을 갖는다는 것은 반례에 의해 잘못됨이 입증된다.
• HKT 구조 존재성과 SU(n)-홀로노미 비즈무트 접속을 갖는 히르미트 계량 존재성이 작은 변형에 대해 안정적이지 않으며, 이는 명시적인 가중치 가중치 가중치로 증명되었다.
• 대칭화 과정은 전역 존재 문제를 리 대수에서의 불변 구조 존재 문제로 성공적으로 줄였으며, 이는 표현 이론적 도구의 사용을 가능하게 하였다.