[논문 리뷰] On some remarkable congruences between two elliptic curves

Nicolas Billerey|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 서로 이소지아모르픽이 아닌 두 개의 유리 타원곡선 E와 E′을 제시하며, 이들은 서로가 이차 테일러가 아니라는 점에서, 갈로아 모듈로로서의 17-torsion 부분군이 동형임을 보인다. 모듈라 형식과 17에 대한 합동을 통해 저자들은 E와 E′의 모듈로 17 갈로아 표현의 준단순화가 동형임을 확인하였고, 5에서의 가군 환원으로 인해 둘 다 기약임을 입증하였다. 이는 이차 테일러를 초월한 드문 17-합동 곡선의 예이다.

ABSTRACT

We exhibit two non-isogenous rational elliptic curves with $17$-torsion subgroups isomorphic as Galois modules.

연구 동기 및 목표

• 서로 이소지아모르픽이지만 갈로아 모듈로서의 17-torsion 부분군이 동형인 두 개의 유리 타원곡선을 식별하고 검증하는 것.
• 이러한 모듈로 17 갈로아 표현 간의 합동이 이차 테일러가 아닌 경우에도 발생할 수 있는지 조사하는 것.
• p > 17인 경우에 대해 프레이-마줄 추측의 한계를 탐색하기 위해 예를 탐색하는 것.
• 관련된 모듈라 형식의 푸리에 계수 간의 모듈로 17 합동을 계산적으로 검증하는 것.

제안 방법

• N = 3675와 N′ = 47775를 사용하여 [KO92]의 보조정리 4를 적용하여 17에 대한 합동을 분석하는 것.
• 모든 소수 l < 3360, l ≠ 3,5,7,13에 대해 aₗ(E) ≡ aₗ(E′) mod 17임을 확인하는 것.
• 소수 13에서의 호환성을 확인하기 위해 조건 a₁₃(E)a₁₃(F) ≡ ±(13+1) mod 17를 검토하는 것.
• Sage 소프트웨어를 사용하여 합동의 계산적 검증을 수행하는 것.
• E와 E′에 부착된 갈로아 표현 ρ와 ρ′을 분석하여 5에서의 악성 가군 환원을 통해 기약성을 판단하는 것.
• 모듈로 17 표현의 이미지가 보렐 부분군에 포함되어 있지 않음을 확인하여 기약성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 이소지아모르픽인 두 개의 유리 타원곡선이 갈로아 모듈로로서의 17-torsion 부분군이 동형일 수 있는가?
• RQ2 서로가 이차 테일러가 아니라는 조건에서 17-합동 타원곡선의 예가 존재하는가?
• RQ3 표현과 판별식이 이러한 합동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이러한 합동은 p > 17인 소수로까지 연장되는가? 그리고 이는 프레이-마줄 추측에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• E와 E′의 17-torsion 부분군은 갈로아 모듈로로 동형이지만, E와 E′는 이소지아모르픽이 아님.
• E와 E′에 부착된 모듈로 17 갈로아 표현은 푸리에 계수의 합동을 통해 준단순화가 동형임을 확인함.
• 둘 다 5에서의 가군 환원으로 인해 기약이며, 표본 지수 2와 순환적 인ertia 군 Φ₅(순서 6)를 가짐.
• E와 E′는 서로 이차 테일러가 아니며, 이 쌍은 360,000 이하의 표본에서 알려진 8개의 이러한 쌍 중 하나임.
• p > 17인 경우에 대해 비이소지아모르픽인 두 유리 타원곡선이 p- torsion을 갈로아 모듈로로 동형으로 갖는 예는 알려져 있지 않음.