[논문 리뷰] On Some Stratifications of Affine Deligne-Lusztig Varieties for SL_3

Boris Zbarsky|ArXiv.org|2009. 05. 31.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $SL_3$에 대한 아핀 덜레인-루스티그 다양체의 보렐-무어 호모로지 위에서 아이와호리 부분군의 작용을 조사하며, 부분군 $A(\mathfrak{o}_F)$가 호모로지 위에서 자명하게 작용함을 보이고자 한다. 이를 위해 $A(\mathfrak{o}_F)$에 의해 보존되는 분할을 구성하고, 작용을 연결된 군 $A(\mathfrak{o}_L)$로 확장한다. 주요 결과는 $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$의 호모로지 위 표현이 분할의 순열을 통해 인자화되며, $A(\mathfrak{o}_F)$의 작용은 자명하다는 것이다.

ABSTRACT

Let L be k((ε)), where k is an algebraic closure of a finite field with q elements and εis an indeterminate, and let σbe the Frobenius automorphism. Let G be a split connected reductive group over the fixed field of σin L, and let I be the Iwahori subgroup of G(L) associated to a given Borel subgroup of G. Let W be the extended affine Weyl group of G. Given x in W and b in G(L), we have some subgroup of G(L) that acts on the affine Deligne-Lusztig variety X_x(b) = {gI in G(L)/I : g^{-1}bσ(g) is in IxI} and hence a representation of this subgroup on the Borel-Moore homology of the variety. We investigate this representation for certain b in the cases when G is SL_2 and G is SL_3.

연구 동기 및 목표

• G=SL_3에 대해 아핀 덜레인-루스티그 다양체 $X_x(\epsilon^\nu)$의 보렐-무어 호모로지 위에서 군 $A(F) \cong \mathbb{Z}^{n-1} \times A(\mathfrak{o}_F)$의 표현을 이해하는 것.
• 더 큰 군 $A(\mathfrak{o}_L)$가 왼쪽 곱셈으로 작용하지 않는 상황에서, 부분군 $A(\mathfrak{o}_F)$가 이 호모로지 위에서 자명하게 작용하는 조건을 규명하는 것.
• 분할을 통해 $X_x(\epsilon^\nu)$를 $A(\mathfrak{o}_F)$-작용에 의해 보존되는 서로소의 닫힌 부분집합들로 나누는 것.
• 호모로지 표현이 $\mathbb{Z}^{n-1}$을 통해 인자화되며, 각 분할의 호모로지 공간 간 순열로 표현된다는 것을 증명하는 것.
• SL_2의 경우에서 $A(\mathfrak{o}_L)$-작용이 자명성을 암시하는 기법을 분할을 통해 SL_3로 일반화하는 것.

제안 방법

• 소수의 행렬의 값매김(1×1 행렬 포함)을 사용하여 아이와호리 이중여러분류 $IxI$에 속하는지 여부를 판단하는 기준을 개발하였다.
• 행렬 원소와 값매김 조건에 기반하여 $g \in w^{-1}U_1 w x I$ 를 만족하는 $x \in \widetilde{W}$ 를 계산하는 방법을 제안하였다.
• $X_x(\epsilon^\nu)$를 $A(\mathfrak{o}_F)$-작용에 의해 보존되는 서로소의 닫힌 부분집합들로 나누는 분할을 구성하였다.
• $A(\mathfrak{o}_F)$-작용을 각 분할에 대해 연결된 군인 $A(\mathfrak{o}_L)$로 확장하였으며, 이는 호모로지 작용이 자명함을 암시한다.
• 정리 6을 사용하여, $x=\epsilon^{(d,e,f)}$ 이고 $f \leq e \leq d$, $i>j>k$, $i+j+k=0$ 일 때, $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 는 $w=1$ 인 경우에만 비어 있지 않음을 검증하였다.
• 정리 1의 값매김 조건을 적용하여 $h \in IxI$ 를 위한 필요충분조건을 도출하였으며, 이는 $\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$, $\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$, 및 $\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$ 를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $SL_3$의 아핀 덜레인-루스티그 다양체 $X_x(\epsilon^\nu)$의 보렐-무어 호모로지 위에서 부분군 $A(\mathfrak{o}_F)$가 자명하게 작용하는가?
• RQ2 만약 $A(\mathfrak{o}_L)$가 왼쪽 곱셈으로 작용하지 않는다면, 분할을 통해 $A(\mathfrak{o}_F)$-작용을 $A(\mathfrak{o}_L)$로 확장할 수 있는가?
• RQ3 $x \in \widetilde{W}$ 와 $\nu \in \mathbb{Z}^3$ 에 대해 $i>j>k$, $i+j+k=0$ 인 경우, $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 가 $w=1$ 일 때에만 비어 있지 않은가?
• RQ4 SL_3에서 행렬의 부분행렬에 대한 값매김 조건은 $IxI$ 에 속하는지 여부를 어떻게 결정하는가?
• RQ5 $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ 의 호모로지 위 표현의 구조는 무엇이며, 이는 $\mathbb{Z}^2$ 를 통해 어떻게 인자화되는가?

주요 결과

• 부분군 $A(\mathfrak{o}_F)$ 는 $SL_3$의 아핀 덜레인-루스티그 다양체 $X_x(\epsilon^\nu)$ 의 보렐-무어 호모로지 위에서 자명하게 작용한다. 이는 작용이 연결된 군인 $A(\mathfrak{o}_L)$ 로 확장되기 때문이다.
• 특히 $x = \epsilon^{(d,e,f)}$ 이고 $f \leq e \leq d$, $i>j>k$, $i+j+k=0$ 일 때, $X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ 는 $w=1$ 인 경우에만 비어 있지 않다.
• $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ 의 호모로지 위 작용은 서로소의 닫힌 분할의 호모로지 공간 간 순열을 통해 인자화되며, $A(\mathfrak{o}_F)$ 는 기여를 하지 않는다.
• $h \in IxI$ 를 위한 필요충분조건은 $\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$, $\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$, $\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$ 이며, 이는 정리 1 에서 유도되었다.
• 행렬 $g = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 와 관련된 육각형의 모든 꼭짓점이 일치함을 확인하여, 정리 6 의 적용 가능성을 확인하였다.
• 특히 $f=k$, $w=1$, $d=j$, $e=i$ 인 경우, $h \in IxI$ 를 위해 $\mathop{\mathrm{val}}(a) > 0$, $\mathop{\mathrm{val}}(c) > 0$, $\mathop{\mathrm{val}}(b) > 0$ 가 필요하며, 이 조건들은 오른쪽 $I$-작용을 통해 $a,b,c$ 를 제거할 수 있다.