[논문 리뷰] ON SOME UNIVERSAL σ-FINITE MEASURES AND SOME EXTENSIONS OF DOOB'S OPTIONAL STOPPING THEOREM

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 기술적 조건을 만족하는 임의의 (Σ) 클래스의 서브마팅게일에 대해 σ-유한 측도 Q를 일반적으로 구성한다. 이에 따라 모든 t ≥ 0 및 Λt ∈ Ft에 대해 Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]가 성립하며, 여기서 g는 0에 대한 마지막 도달 시간이다. 이 결과는 도브의 선택 정지 정리의 일반화로서 유한한 정지 시간에 대해서도 등식이 성립함을 보여주며, 블랙-숄즈 공식과 마지막 도달 시간 간의 관계에 대한 마단, 로이네트, 요르가 제기한 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Abstract. In this paper, we associate, to any submartingale of class (Σ), defined on a filtered probability space (Ω, F, P, (Ft)t≥0), which satisfies some technical conditions, a σ-finite measure Q on (Ω, F), such that for all t ≥ 0, and for all events Λt ∈ Ft: Q[Λt, g ≤ t] = EP[1ΛtXt] where g is the last hitting time of zero of the process X. This measure Q has already been defined in several particular cases, some of them are involved in the study of Brownian penalisation, and others are related with problems in mathematical finance. More precisely, the existence of Q in the general case solves a problem stated by D. Madan, B. Roynette and M. Yor, in a paper studying the link between Black-Scholes formula and last passage times of certain submartingales. Moreover, the equality defining Q remains true if one replaces the fixed time t by any bounded stopping time. This generalization can be viewed as an extension of Doob’s optional stopping theorem. 1.

연구 동기 및 목표

• 기술적 조건을 만족하는 (Σ) 클래스의 서브마팅게일에 대해 (Ω, F) 위에 σ-유한 측도 Q를 구성하는 것.
• 모든 t ≥ 0 및 Λt ∈ Ft에 대해 Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]인 항등식을 확립하는 것. 여기서 g는 0에 대한 마지막 도달 시간이다.
• 이 항등식을 고정된 시간에서 유한한 정지 시간으로 일반화하여 도브의 선택 정지 정리를 확장하는 것.
• 블랙-숄즈 공식과 서브마팅게일의 마지막 도달 시간 간의 관계에 대해 마단, 로이네트, 요르가 제기한 열린 문제를 해결하는 것.
• 브라운 운동 페널티 및 수학적 금융과 관련된 특수 케이스에서 기존에 알려진 Q의 구성들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 모든 t ≥ 0 및 Λt ∈ Ft에 대해 Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]인 항등식을 통해 (Ω, F) 위에 σ-유한 측도 Q를 정의하는 것.
• 서브마팅게일 X가 0에 마지막으로 도달하는 시간 g를 이용하여, 시간 간격 [0, g]에 걸쳐 측도 Q를 구성하는 것.
• 서브마팅게일의 (Σ) 클래스에 대한 기술적 조건 하에서 Q가 잘 정의되고 σ-유한임을 검증하는 것.
• 고정된 시간 t에서 유한한 정지 시간 τ로 항등식을 확장하여 Q[Λτ, g ≤ τ] = E^P[1_Λτ Xτ]임을 보이는 것.
• 서브마팅게일의 성질과 선택 샘플링 기법을 활용하여 확장의 타당성을 검증하는 것.
• 결과를 적용하여 블랙-숄즈 공식과 마지막 도달 시간 간의 관계에 대한 문헌의 문제를 해결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기술적 조건을 만족하는 (Σ) 클래스의 서브마팅게일에 대해, 모든 t ≥ 0 및 Λt ∈ Ft에 대해 Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]를 만족하는 σ-유한 측도 Q를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 측도 Q를 정의하는 항등식이 고정된 시간에서 유한한 정지 시간으로 확장될 수 있는가? 이는 도브의 선택 정지 정리를 일반화하는가?
• RQ3 이 구성이 마단, 로이네트, 요르가 제기한 블랙-숄즈 공식과 서브마팅게일의 마지막 도달 시간 간의 관계에 대한 열린 문제를 어떻게 해결하는가?
• RQ4 0에 대한 마지막 도달 시간 g가 샘플 공간 위에서 측도 Q를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 일반적 구성은 브라운 운동 페널티 및 수학적 금융 분야의 이전 결과들을 어떻게 통합하고 일반화하는가?

주요 결과

• 모든 t ≥ 0 및 Λt ∈ Ft에 대해 Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt]를 만족하는 (Ω, F) 위의 σ-유한 측도 Q가 구성된다. 여기서 g는 서브마팅게일 X가 0에 마지막으로 도달하는 시간이다.
• 고정된 시간 t를 임의의 유한한 정지 시간 τ로 대체해도 Q를 정의하는 항등식이 그대로 유지되며, 이는 도브의 선택 정지 정리를 일반화한다.
• 이 구성은 마단, 로이네트, 요르가 제기한 블랙-숄즈 공식과 서브마팅게일의 마지막 도달 시간 간의 관계에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 측도 Q는 브라운 운동 페널티 및 수학적 금융에서 발생하는 특수 케이스에서 이전에 알려진 구성들을 일반화한다.
• 결과는 서브마팅게일의 행동, 마지막 도달 시간, 금융 가격 공식 간의 엄밀한 측도 이론적 프레임워크를 수립한다.
• 이 방법은 서브마팅게일의 (Σ) 클래스를 σ-유한 측도를 통해 분석하는 통합적 접근을 제공하며, 확률 과정 분석 도구를 강화한다.