[논문 리뷰] On some universal Morse-Sard type Theorem

Adele Ferone, Mikhail V. Korobkov외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 허더 및 소볼레프 사상에 대한 일반화된 모스-사르드 정리의 유니버설 버전을 수립하며, $ v \in C^{k,\alpha} $ 또는 $ W^{k}_p $ 이며 $ p = \max(1, n/k) $ 인 경우, $ m $-임계집합 위의 거의 모든 점의 원상에 대한 $ \mathcal{H}^\mu $-측도가 0이 됨을 증명한다. 여기서 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $ 이다. 이 결과는 고전적 및 두보비츠키-페더러 정리를 통합하고, $ N $-성질과 엔트로피 추정을 통해 저규칙성 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The classical Morse--Sard theorem claims that for a mapping $v:\mathbb R^n o\mathbb R^{m+1}$ of class $C^k$ the measure of critical values $v(Z_{v,m})$ is zero under condition $k\ge n-m$. Here the critical set, or $m$-critical set is defined as $Z_{v,m} = \{ x \in \mathbb R^n : \, { m rank}\, abla v(x)\le m \}$. Further Dubovitski\uı in 1957 and independently Federer and Dubovitski\uı in 1967 found some elegant extensions of this theorem to the case of other (e.g., lower) smoothness assumptions. They also established the sharpness of their results within the $C^k$ category. Here we formulate and prove a extit{bridge theorem} that includes all the above results as particular cases: namely, if a function $v:\mathbb R^n o\mathbb R^d$ belongs to the Holder class $C^{k,α}$, $0\leα\le1$, then for every $q>m$ the identity $$\mathcal H^μ(Z_{v,m}\cap v^{-1}(y))=0$$ holds for $\mathcal H^q$-almost all $y\in\mathbb R^d$, where $μ=n-m-(k+α)(q-m)$. The result is new even for the classical $C^k$-case (when $α=0$); a similar result is established for the Sobolev classes of mappings $W^k_p(\mathbb R^n,\mathbb R^d)$ with minimal integrability assumptions $p=\max(1,n/k)$, i.e., it guarantees in general only the continuity (not everywhere differentiability) of a mapping. However, using some $N$-properties for Sobolev mappings, established in our previous paper, we obtained that the sets of nondifferentiability points of Sobolev mappings are fortunately negligible in the above bridge theorem. We cover also the case of fractional Sobolev spaces. The proofs of the most results are based on our previous joint papers with J. Bourgain and J. Kristensen (2013, 2015).

연구 동기 및 목표

• 낮은 연속성 조건을 갖는 사상에 적용 가능한 단일 프레임워크로 고전적, 두보비츠키-페더러 모스-사르드 정리를 통합하고 일반화하는 것.
• 최소한의 적분 조건 하에 허더 및 소볼레프 사상에 대한 임계집합의 원상에 대한 정확한 측도 추정을 수립하는 것.
• 소볼레프 사상에서 미분 불능 점들의 집합이 일반화된 모스-사르드 정리의 맥락에서 측도적으로 무시할 수 있음을 보이는 것.
• 분수계 소볼레프 공간과 베셀 퍼텐셜 공간으로 이론을 확장하는 것. 이는 깊이 있는 해석학적 및 기하학적 도구를 사용한다.

제안 방법

• 매개변수 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $ 를 통해 고전적 $ C^k $, 허더 $ C^{k,\alpha} $, 소볼레프 $ W^k_p $ 설정 사이를 연결하는 다리 정리의 수립.
• 소볼레프 사상의 $ N $-성질을 이용하여, 비미분 가능 점들의 집합이 $ \mathcal{H}^{\tau_*} $-측도가 0임을 보이는 것. 여기서 $ \tau_* = n - k + 1 $ 이다.
• 다항식의 근접 임계값에 대해 Y. 요미딘의 엔트로피 추정을 적용하며, 이는 대수기하학 기법에 기반한다.
• 다항식에 의한 근사와 최대함수 기법을 사용하여 $ n $-차원 구간 $ Q $ 에서 $ Z'_{v} \cap Q $ 의 측도에 대한 균일 추정을 수립하는 것.
• $ W^k_1 $-사상에 대한 $ L^1 $-기반 추정을 확장 정리와 $ \nabla v_Q $ 에 대한 최대함수 경계를 통해 증명하는 것.
• 2013년 및 2015년의 J. 보르건 및 J. 크리스텐센과의 공동 연구에서 개발된 기법들을 개선하고 적용하여 임계 적분 조건을 다루는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모스-사르드 정리는 $ C^{k,\alpha} $ 또는 $ p = \max(1, n/k) $ 인 $ W^k_p $ 와 같은 최소 연속성 조건을 갖는 사상으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 다음에 대해 $ \mathcal{H}^q $-거의 모든 $ y \in \mathbb{R}^d $ 에 대해 $ Z_{v,m} \cap v^{-1}(y) $ 의 최대 하우스도르프 차원은 무엇인가? $ q $
• RQ3 소볼레프 사상에서 비미분 가능 점들의 집합은 임계값 분석을 위한 측도론적 관점에서 어떻게 제어될 수 있는가?
• RQ4 고전적 모스-사르드, 두보비츠키, 페더러 정리를 특수한 경우로 포함하는 통합 프레임워크가 존재하는가?
• RQ5 대수기하학에서 유도된 엔트로피 추정은 저규칙성 설정에서 임계집합의 측도 추정을 위한 정확한 경계를 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ y \in {\mathbb{R}}^d $ 에 대해 $ \mathcal{H}^\mu $-측도가 0이 되며, $ v \in C^{k,\alpha}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 이고 $ \mu = n - m - (k + \alpha)(q - m) $ 인 경우, $ Z_{v,m} \cap v^{-1}(y) $ 는 $ \mathcal{H}^q $-거의 모든 $ y \in {\mathbb{R}}^d $ 에 대해 성립한다.
• 이 결과는 고전적 $ C^k $-경우($ \alpha = 0 $)에도 새롭게 적용되며, 이는 모스-사르드 및 두보비츠키-페더러 정리를 특수한 경우로 포함하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• $ k \geq n $ 인 경우 $ W^k_1({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ 에 대해, 비미분 가능 점들의 집합 $ A_v $ 는 $ \mathcal{H}^{n-k+1}(A_v) = 0 $ 를 만족하므로 측도론적으로 무시할 수 있다.
• $ p = 1 $ 인 극한 경우, $ k > n $ 이면 $ \Phi(Z'_{v} \cap Q) \leq C \sigma^{q-m} r^{q + \mu + (k-1-n)(q-m)} $ 이 성립하며, 여기서 $ \sigma = \|\nabla^k v\|_{L_1(Q)} $ 이다.
• $ k = n $ 이면 조건 $ q + \mu \geq 1 $ 하에서 $ \Phi(Z'_{v} \cap Q) \leq C (\sigma^q r^\mu + \sigma^{q-m} r^{\mu + m}) $ 이 성립한다.
• 다항식에 대한 요미딘의 엔트로피 추정을 활용함으로써, 낮은 규칙성 영역에서 근접 임계값의 측도를 정확하게 제어할 수 있으며, 이는 증명에 있어 핵심적이다.