[논문 리뷰] On spatial volume averaging in Lema\^ıtre--Tolman--Bondi dust models. Part I: back reaction, spacial curvature and binding energy

Roberto A. Sussman|ArXiv.org|2008. 07. 08.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 24인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 레마이트르–톨만–본디(LTB) 먼지 모델에 대해 부크하르트의 공간 평균화 체계를 사용하여 운동학적 역작용의 엄밀한 분석을 수행한다. 연구는 초구형(양의 곡률) 붕괴 영역을 포함하더라도, 쌍곡형(음의 곡률) 영역에서는 항상 $\mathcal{Q} \geq 0$가 보장됨을 밝혀내며, 새로운 장을 도입하지 않고도 효과적인 어두운 에너지 유사 가속화의 기하학적 기원을 제시한다.

ABSTRACT

We provide a comprehensive analytic study (rigorous and qualitative) of the conditions for the existence of a a positive kinematic back reaction term $\QQ>0$, in the context of Buchert's scalar averaging formalism applied to spherically symmetric Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) dust solutions in which averaging domains are given as spherical comoving regions containing a symmetry center. We introduce proper volume and quasi-local average functionals and functions in order to examine the conditions for $\QQ\geq 0$, and in the process we also explore the relation between back reaction, spatial curvature and binding energy for a wide variety of LTB configurations. The back reaction term is positive for all "hyperbolic" regular domains with negative spatial curvature, either in the full radial range or in the radial asymptotic range. This result is also valid if these domains contain an inner "elliptic" region with positive curvature undergoing local collapse. For some cases in which positive spatial curvature decreases asymptotically, the conditions for a positive back reaction can still be met but seem to be more restrictive. Since $\QQ>0$ is a necessary condition for a positive "effective" acceleration that would mimic the effect of dark energy (in the context of Buchert's formalism), we examine this issue in LTB models in a follow up paper (part II).

연구 동기 및 목표

• 부크하르트의 평균화 체계를 LTB 먼지 모델에 적용할 때, 역작용 항 $\mathcal{Q}$ 가 음이 아닌 조건을 엄밀히 규명하는 것.
• 구형 대칭 비균일 시공간에서 공간 곡률, 유인 에너지, 역작용 간의 상호작용을 탐색하는 것.
• 퍼티브 근사나 특정 모델 선택 없이도 $\mathcal{Q} \geq 0$ 가 성립하는 충분조건을 설정하는 것.
• 반경 방향 전환점(TVs)이 평균화된 스칼라 양과 그 기울기에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 제2부에서 어두운 에너지 효과를 역작용을 통해 재현할 수 있는 타당한 LTB 구성 조건을 규명하는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• LTB 시공간 내 공동운동 구형 영역에 대해 적절한 부피 및 준국소 평균화 함수를 유도한다.
• LTB 방정식의 정확한 해를 사용하여 부크하르트의 스칼라 평균화 체계를 적용해 역작용 항 $\mathcal{Q}$ 를 계산한다.
• 공변 유인 에너지 함수를 도입하고 기하학적 및 운동학적 제약 조건을 통해 공간 곡률과 $\mathcal{Q}$ 와의 관계를 규명한다.
• 반경 기울기와 전환점(TVs)의 엄밀한 분석을 통해 $\mathcal{Q} \geq 0$ 가 성립하는 영역을 규명한다.
• 미적분학적 극한과 점근적 분석을 활용해 확장 및 곡률에서 전환점 근처의 특이점을 다룬다.
• 스케일 인형 $R$ 의 전환점이 확장 스칼라 $\Theta$ 의 전환점과 관련이 있음을 증명하며, 기하학적 구조가 평균화된 운동학에 미치는 영향을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LTB 먼지 모델에서 구형 대칭 조건 하에 역작용 항 $\mathcal{Q}$ 가 음이 아닌 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 음의 곡률이 $\mathcal{Q}$ 가 양이 되는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ3 유인 에너지가 역작용을 통한 효과적인 가속화 발생에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 내부 타원형 영역과 외부 쌍곡형 영역이 혼합된 구성에서 $\mathcal{Q} \geq 0$ 를 달성할 수 있는가?
• RQ5 스케일 인형 $R$ 과 확장 스칼라 $\Theta$ 의 반경 방향 전환점(TVs)이 평균화 체계의 타당성과 $\mathcal{Q}$ 의 부호에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 쌍곡형(음의 공간 곡률) 정규 영역에서, 전체 반경 범위 및 점근적 극한에서 $\mathcal{Q}$ 는 엄격히 양수이다.
• 조금의 타원형 영역이 붕괴하는 내부 영역을 포함하더라도, 쌍곡형 영역에서는 여전히 $\mathcal{Q} \geq 0$ 가 성립한다.
• 점 渐진적으로 감소하는 양의 곡률을 가지는 구성에서는 $\mathcal{Q} \geq 0$ 가 가능하지만, 더 엄격한 조건이 필요하다.
• 스케일 인형 $R$ 의 전환점(즉, $R' = 0$)은 확장 스칼라 $\Theta$ 의 전환점도 암시하며, 이러한 점에서 기하학적 양의 연속성을 확보하는 데 핵심적이다.
• 유인 에너지 함수는 기하학적으로 $\mathcal{Q}$ 와 연결되어 있으며, 이는 백하르트의 추측을 지지한다. 즉, 역작용은 준국소 에너지와 곡률 효과에서 기인한다.
• 증명 결과, $R'(r_{\rm{tv}}) = 0 \Rightarrow \Theta'(r_{\rm{tv}}) = 0$ 를 도출하여, $R$ 의 전환점이 $\Theta$ 의 전환점이기도 하며, 평균화 체계에 대한 핵심 일致 조건임을 확인한다.