[논문 리뷰] On spectral asymptotics of the tensor product of operators with almost regular marginal asymptotics

Nikita Rastegaev|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 31.

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한 줄 요약

이 논문은 거의 정규적인 마진 복합 고유값 행동을 보이는 컴팩트 자기수반 연산자의 텐서곱에 대한 스펙트럼 游근을 일반화하며, 약한 조건 하에 텐서곱이 거의 정규적인 근사 행동을 상속함을 보여준다. 핵심 결과는 가우시안 랜덤 필드의 소구역 확률에 대한 정밀한 로그적 근사 행동을 수립하며, 프랙탈 측도를 갖는 브라운 운동 필드 및 관련 과정에 대한 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

Spectral asymptotics of a tensor product of compact operators in Hilbert space with known marginal asymptotics is studied. Methods of A. Karol', A. Nazarov and Ya. Nikitin (Trans. AMS, 2008) are generalized for operators with almost regular marginal asymptotics. In many (but not all) cases it is shown, that tensor product has almost regular asymptotics as well. Obtained results are then applied to the theory of small ball probabilities of Gaussian random fields.

연구 동기 및 목표

• 정규 근사 행동을 초월하여 거의 정규적인 마진 고유값 행동을 갖는 컴팩트 연산자의 텐서곱에 대한 스펙트럼 근사 이론을 확장하는 것.
• 거의 정규적인 고유값 근사 행동을 갖는 두 연산자의 텐서곱이 또한 거의 정규적인 스펙트럼 행동을 보이는 조건을 규명하는 것.
• 유도된 스펙트럼 근사를 가우시안 랜덤 필드의 소구역 확률 문제에 적용하여, 자기유사성 또는 프랙탈 측도를 갖는 경우에 대해 분석하는 것.
• 브라운 운동 필드와 그린 과정에 대한 이전 결과를 주기적 변동이 있는 스펙트럼 수세기 함수를 갖는 더 넓은 범주로의 가우시안 필드로 일반화하는 것.

제안 방법

• 카롤, 나자로프, 니킨(2008)의 방법을 확장하여, $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ 형태로 점 游근하는 고유값을 갖는 연산자들을 다루는 데 사용한다. 여기서 $\psi$ 는 천천히 변화하는 함수이고 $\mathfrak{s}$ 는 주기적이다.
• t \to 0^+ 일 때, $\mathcal{N}(t, \mathcal{T} \otimes \widetilde{\mathcal{T}})$ 의 수세기 함수의 점근적 행동을 분석하며, 거의 멜린형 적분의 콘볼루션을 사용한다.
• 상대적 힘 매개변수 $p$ 와 $\widetilde{p}$, 그리고 천천히 변화하는 함수를 포함하는 적분의 수렴 여부에 따라 유도된 점근적 행동을 사례별로 분류한다.
• 고유값 점근적 행동과 수세기 함수 점근적 행동 간의 등가성 사용: $\mathcal{N}(t) \sim \frac{\varphi(1/t) \cdot s(\ln(1/t))}{t^{1/p}}$, 여기서 $\varphi$ 는 천천히 변화하는 함수이고 $s$ 는 주기적이다.
• 스펙트럼 결과를 가우시안 필드에 적용하기 위해 공분산 연산자의 스펙트럼 점근적 행동과 로그적 소구역 확률 간의 연결 고리를 활용한다.
• 소구역 확률의 정밀한 점근적 형태를 $\ln \mathbf{P}(\|Z\|_{\mu} \leq \varepsilon)$ 에 대해 유도하며, $\varepsilon \to 0$ 일 때 주기적 함수와 로그-거듭제곱 보정 항을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거의 정규적인 고유값 근사 행동을 갖는 두 컴팩트 연산자의 텐서곱이 거의 정규적인 스펙트럼 행동을 상속하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 상대적 힘 매개변수 $p$ 와 $\widetilde{p}$, 그리고 스펙트럼 변동의 주기성이 텐서곱의 고유값 수세기 함수의 점근적 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 공분산 연산자가 거의 정규적인 스펙트럼 행동을 갖는 가우시안 랜덤 필드의 소구역 확률 점근적 행동의 정밀한 형태는 무엇인가?
• RQ4 비유리수 주기 또는 퇴화된 주기 성분이 텐서곱의 스펙트럼 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 두 연산자가 거의 정규적인 근사 행동 $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ 을 갖는 경우, $\widetilde{p} > p$ 이거나 $\widetilde{p} = p$ 이며 적분이 발산하고 주기가 일치할 때, 텐서곱은 거의 정규적인 스펙트럼 근사를 상속한다.
• 주기 성분의 주기가 비유리수일 경우, 텐서곱의 스펙트럼 근사는 정규화된다 (즉, 주기 성분은 상수로 퇴화된다).
• 적분 $\int_1^\infty \varphi(\sigma) \frac{d\sigma}{\sigma}$ 가 하나 이상 수렴할 경우, 유도된 근사는 더 복잡해지며 로그 보정 항이 포함된다.
• 일반화된 칸토어 측도를 갖는 브라운 운동 필드의 경우, 소구역 확률은 $\ln \mathbf{P}(\|\mathbb{W}_d\|_{\mu} \leq \varepsilon) \sim -\varepsilon^{-2\log_3 2} \ln^{(d-1)\log_3 6}(1/\varepsilon) \zeta(\ln(1/\varepsilon))$ 를 만족한다. 여기서 $\zeta$ 는 $\frac{\ln 3}{2}$-주기 함수이다.
• 소구역 확률의 점근적 형태는 최소 힘 지수 $\mathfrak{p}$ 를 갖는 연산자의 수 $\mathfrak{d}$ 에 따라 달라지며, 텐서곱의 주기 성분은 반복적으로 콘볼루션 공식을 적용하여 유도된다.