[논문 리뷰] On spectral representation of coalgebras and Hopf algebroids

J. Mrčun|arXiv (Cornell University)|2002. 08. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다양체 위의 컴 pactly 스포티드 스무쓰 함수의 대수 위에서 에탈 레이드 군oids와 호프 대수군 사이의 이중성을 수립한다. 이는 임의의 이러한 호프 대수군으로부터 스펙트럴 에탈 레이드 군oid를 구성하며, 이 할당이 군oid 대수 함자에 대해 완전 충실하고 왼쪽 수반임을 증명한다. 이는 호프 대수군이 이 구성으로부터 기인할 때에만 동형이 성립한다.

ABSTRACT

In this paper we establish a duality between etale Lie groupoids and a class of non-necessarily commutative algebras with a Hopf algebroid structure. For any etale Lie groupoid G over a manifold M, the groupoid algebra C_c(G) of smooth functions with compact support on G has a natural coalgebra structure over C_c(M) which makes it into a Hopf algebroid. Conversely, for any Hopf algebroid A over C_c(M) we construct the associated spectral etale Lie groupoid G_sp(A) over M such that G_sp(C_c(G)) is naturally isomorphic to G. Both these constructions are functorial, and C_c is fully faithful left adjoint to G_sp. We give explicit conditions under which a Hopf algebroid is isomorphic to the Hopf algebroid C_c(G) of an etale Lie groupoid G. We also demonstrate that an analogous duality exists between sheaves on M and a class of coalgebras over C_c(M).

연구 동기 및 목표

• 다양체 위의 컴 pactly 스포티드 스무쓰 함수의 대수 위에서 에탈 레이드 군oids와 호프 대수군 사이의 이중성을 수립하기.
• 에탈 레이드 군oid의 군oid 대수에 호프 대수군 구조가 부여된 상태에서 그로부터 에탈 레이드 군oid를 재구성하기.
• 호프 대수군이 에탈 레이드 군oid의 군oid 대수로 나타나는 조건을 규명하기.
• 스펙트럴 구성에 의해 다양체 위의 층으로의 이중성 확장하기.

제안 방법

• 에탈 레이드 군oid G가 다양체 M 위에 있을 때, 컴 pactly 스포티드 스무쓰 함수 공간에 코알제브라 구조를 정의하여 C∞_c(M) 위의 호프 대수군으로 만든다.
• 모든 C∞_c(M) 위의 호프 대수군 A로부터 S-불변의 약한 군적 원소들의 집합을 사용하여 스펙트럴 에탈 레이드 군oid G_sp(A)를 구성한다.
• 각 점 x ∈ M 에서 C_x = C / N_x(C) 라는 몫 코알제브라를 정의하여, 스펙트럴 층 E_sp(C)의 꼬리층을 C_x 내의 군적 원소들의 집합으로 정의한다.
• M 위의 층과 C∞_c(M) 위의 코알제브라 사이의 함자적 대응을 수립하며, C∞_c 가 E_sp 에 대해 완전 충실하고 왼쪽 수반임을 보인다.
• 호프 대수군 A가 어떤 에탈 레이드 군oid G에 대해 C∞_c(G) 와 동형이 되기 위한 조건은, S-불변의 약한 군적 원소들이 A를 정상적으로 생성하고 정상적으로 선형 독립이어야 한다는 것이다.
• 표준 사상 Θ_A: C∞_c(G_sp(A)) → A 는 A 가 위 조건을 만족할 때 정확히 동형이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C∞_c(M) 위의 호프 대수군이 어떤 에탈 레이드 군oid의 군oid 대수와 동형이 되는가?
• RQ2 에탈 레이드 군oid의 컴 pactly 스포티드 스무쓰 함수의 호프 대수군으로부터 어떻게 그 군oid를 재구성할 수 있는가?
• RQ3 호프 대수군의 어떤 조건이 그 스펙트럴 군oid가 원래 군oid와 동형이 되도록 보장하는가?
• RQ4 스펙트럴 구성은 군oid의 층 이론적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 C∞_c(M) 위에서 유래하는 코알제브라 중 어떤 것이 M 위의 층에서 유래하는가?

주요 결과

• M 위의 층의 범주에서 C∞_c(M) 위의 코알제브라의 범주로 가는 함자 C∞_c 는 E_sp 에 대해 완전 충실하고 왼쪽 수반이다.
• C∞_c(M) 위의 코알제브라 C 는 모든 x ∈ M 에 대해 C_x 가 G(C_x) 로 생성하는 자유 모듈이면, 어떤 M 위의 층 E 에 대해 C∞_c(E) 와 동형이 된다.
• 호프 대수군 A 가 어떤 에탈 레이드 군oid G 에 대해 C∞_c(G) 와 동형이 되기 위한 조건은, S-불변의 약한 군적 원소들이 A 를 정상적으로 생성하고 정상적으로 선형 독립이어야 한다는 것이다.
• 표준 사상 Θ_A: C∞_c(G_sp(A)) → A 는 A 가 위 조건을 만족할 때 정확히 동형이 된다.
• A ≅ C∞_c(G) 일 때, 스펙트럴 군oid G_sp(A) 는 원래의 에탈 레이드 군oid G 와 동형이 된다.
• 스펙트럴 구성은 C∞_c(E) 로부터 원래의 층 E 를 회복하며, E_sp(C∞_c(E)) ≅ E 이다.