[논문 리뷰] On spreading sequences and asymptotic structures

Daniel Freeman, Edward Odell외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 13.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스플래시팅 기저를 갖는 바나흐 공간과 $c_0$에 유사한 점 渐진적 구조를 연구한다. 스플래시팅 기저를 갖는 모든 바나흐 공간이 보완 가능한 무조건적 기저를 갖는 부분공간을 포함함을 증명하며, 허먼 로젠탈의 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다. 또한 $c_0$를 포함하거나 점 渐진적-$c_0$가 되는 조건을 규명하며, 새로운 무조건성과 평균화 투영 기법을 사용한다.

ABSTRACT

In the first part of the paper we study the structure of Banach spaces with a conditional spreading basis. The geometry of such spaces exhibit a striking resemblance to the geometry of James' space. Further, we show that the averaging projections onto subspaces spanned by constant coefficient blocks with no gaps between supports are bounded. As a consequence, every Banach space with a spreading basis contains a complemented subspace with an unconditional basis. This gives an affirmative answer to a question of H. Rosenthal. The second part contains two results on Banach spaces $X$ whose asymptotic structures are closely related to $c_0$ and do not contain a copy of $\ell_1$: i) Suppose $X$ has a normalized weakly null basis $(x_i)$ and every spreading model $(e_i)$ of a normalized weakly null block basis satisfies $\|e_1-e_2\|=1$. Then some subsequence of $(x_i)$ is equivalent to the unit vector basis of $c_0$. This generalizes a similar theorem of Odell and Schlumprecht, and yields a new proof of the Elton-Odell theorem on the existence of infinite $(1+\varepsilon)$-separated sequences in the unit sphere of an arbitrary infinite dimensional Banach space. ii) Suppose that all asymptotic models of $X$ generated by weakly null arrays are equivalent to the unit vector basis of $c_0$. Then $X^*$ is separable and $X$ is asymptotic-$c_0$ with respect to a shrinking basis $(y_i)$ of $Y\supseteq X$.

연구 동기 및 목표

• 조건부 스플래시팅 기저를 갖는 바나흐 공간의 기하학적 구조를 이해하고, 특히 제임스 공간과의 유사성을 분석한다.
• 스플래시팅 기저를 갖는 공간에서 보완 가능한 무조건적 부분공간의 존재에 관한 허먼 로젠탈의 미해결 문제를 해결한다.
• 약한 영인자로 구성된 정규화된 기저를 갖는 바나흐 공간이 $c_0$를 포함하거나 점 渐진적-$c_0$가 되는 조건을 규명한다. 특히 점 渐진적 모델이 $c_0$ 기저와 동치일 경우를 중심으로 한다.
• 조건부 스플래시팅 경우에서 상수 계수 블록 부분공간 위에 정의된 평균화 투영의 유계성을 확립한다.
• 모든 무한차원 바나흐 공간의 단위 구면에서 무한한 $(1+\varepsilon)$-분리된 수열이 존재한다는 엘턴-오델 정리의 새로운 증명을 제공한다.

제안 방법

• 정규화된 조건부 스플래시팅 기저 $(e_i)$에서 유도된 차분 기저 $(d_i) = (e_1, e_2 - e_1, e_3 - e_2, \dots)$를 도입하여, 이 기저가 스킵드 무조건적 기저를 이룬다는 것을 보인다.
• 정리 2.3a를 사용하여 차분 기저 내의 블록 수열의 무조건성을 증명하며, 분석의 핵심이 된다.
• 간격이 없는 상수 계수 블록이 생성하는 부분공간 위에 정의된 평균화 투영을 적용하여, 그 유계성의 균일성(일관성)을 입증한다.
• 조합론적 간격 레이마를 적용하여 트리 노드 상의 함수형을 안정화시켜, 조절 가능한 왜곡을 갖는 점 渐진적 모델을 구성할 수 있도록 한다.
• 안정화된 함수형과 왜곡 제어를 통해 정교한 벡터 배열을 구성하여 점 渐진적 모델이 $c_0$와 동치가 되도록 보장한다.
• 모든 정규화된 점 渐진적 모델이 $c_0$ 기저와 동치임과 동시에 $\varepsilon$-분리된 수열이 존재하지 않음을 이용하여, $X^*$의 분리성과 점 渐진적-$c_0$ 구조를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 스플래시팅 기저를 갖는 바나흐 공간이 보완 가능한 무조건적 기저를 갖는 부분공간을 포함하는가?
• RQ2 약한 영인자로 구성된 정규화된 기저를 갖는 바나흐 공간이 어떤 조건에서 $c_0$와 동치인 부분공간을 포함하는가?
• RQ3 약한 영인자 배열의 모든 점 渐진적 모델이 $c_0$ 기저와 동치일 경우, 이 공간이 쇼링크 기저에 대해 점 渐진적-$c_0$가 되는가?
• RQ4 점 渐진적 모델 성질로부터 엘턴-오델 정리의 $(1+\varepsilon)$-분리된 수열 존재성에 대한 재증명이 가능한가?
• RQ5 조건부 스플래시팅 기저를 갖는 공간의 기하학적 특성 기술에 있어 차분 기저 $(d_i)$의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 스플래시팅 기저를 갖는 바나흐 공간은 보완 가능한 무조건적 기저를 갖는 부분공간을 포함하며, 이는 허먼 로젠탈의 질문에 대해 긍정적인 답변을 제시한다.
• 간격이 없는 상수 계수 블록이 생성하는 부분공간 위에 정의된 평균화 투영은 균일하게 유계이며, 이는 핵심 기술적 결과이다.
• 정규화된 약한 영인자 블록 기저가 $\|e_1 - e_2\| = 1$이고 $\ell_1 \not\hookrightarrow X$를 만족하면, $c_0 \hookrightarrow X$이다.
• 모든 정규화된 점 渐진적 모델이 약한 영인자 배열에 대해 $c_0$ 기저와 동치이고 $\ell_1 \not\hookrightarrow X$이면, $X^*$는 분리되고, $X$는 더 큰 공간 $Y \supseteq X$의 쇼링크 기저에 대해 점 渐진적-$c_0$이다.
• 엘턴-오델 정리의 증명이 단순화된다: $X$가 $\ell_1$이나 $c_0$를 포함하지 않으면, 약한 영인자 수열은 $\|e_1 - e_2\| > 1$를 만족하는 블록 기저를 가져 무한한 $(1+\varepsilon)$-분리된 수열을 이룬다.
• 조건부 스플래시팅 기저의 차분 기저 $(d_i)$는 스킵드 무조건적 기저이며, $c_0 \not\hookrightarrow X$이면 $(e_i)$는 유계 완비이다.