[논문 리뷰] On standard finite difference discretizations of the elliptic Monge-Ampere equation

Gerard Awanou|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정규화와 하위영역에서의 내부 이산화를 사용하여 타원형 몽체-암페르 방정식에 대해 안정적이고 수렴하는 유한차분 방법을 제안한다. 이는 컴팩트 부분집합에서 정규화된 문제의 이산 해가 균일 수렴함을 증명하며, 시간에 따라 변화하는 알고리즘은 매끄러운 해에서는 뉴턴 방법보다 빠르며, 비매끄러운 해에 대해서도 해를 다시 스케일링한 후에는 초기 추측값과의 가까움에 관계없이 강건하게 수렴한다.

ABSTRACT

Given an orthogonal lattice with mesh length h on a bounded convex domain, we propose to approximate the Aleksandrov solution of the Monge-Ampere equation by regularizing the data and discretizing the equation in a subdomain using the standard finite difference method. The Dirichlet data is used to approximate the solution in the remaining part of the domain. We prove the uniform convergence on compact subsets of the solution of the discrete problems to an approximate problem on the subdomain. The result explains the behavior of methods based on the standard finite difference method and designed to numerically converge to non-smooth solutions. We propose an algorithm which for smooth solutions appears faster than the popular Newton's method with a high accuracy for non smooth solutions. The convergence of the algorithm is independent of how close to the numerical solution the initial guess is, upon rescaling the equation and given a user's measure of the closeness of an initial guess.

연구 동기 및 목표

• 비매끄러운 해를 갖는 타원형 몽체-암페르 방정식에 대해 안정적이고 수렴하는 유한차분 이산화를 개발한다.
• 표준 유한차분 방법이 알렉산드로프 해를 근사할 때의 수치적 거동을 설명한다.
• 해를 재스케일링한 후, 초기 추측값의 품질에 관계없이 수렴성이 보장되는 시간에 따라 변화하는 알고리즘을 설계한다.
• 일관된 이산화와 재스케일링을 사용하여 매끄러운 해에 대한 수렴 속도를 확립한다.
• 정규화와 메쉬 세분화를 통해 정해진 정확도 내에서 해를 근사하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 우리의 영역 $ \overline{\Omega} $ 에서 $ C^\infty $ 인 균일 수렴성을 갖는 부드러운 근사값 $ f_m, g_m $ 을 사용하여 우변 $ f $ 와 경계 데이터 $ g $ 를 정규화한다.
• 유계로 볼 수 있는 하위영역 $ \widetilde{\Omega} \subset \Omega_s $ 를 정의한다. 여기서 $ \Omega_s $ 는 $ \Omega $ 로 수렴하는 일관된 볼록 하위영역이다.
• 헤시안 $ D^2u $ 를 표준 중심 유한차분으로 이산화하고, 코팩터 행렬과 이산 발산을 통해 이산 몽체-암페르 연산자를 정의한다.
• 이산 방정식에 기반한 시간에 따라 변화하는 알고리즘을 구성하며, 초기 반복에는 중심 유한차분 스킴을 사용하고 고정밀도를 위해 일관된 이산화로 전환한다.
• 반복 방법의 수렴성을 보장하기 위해 방정식을 재스케일링한다.
• 내부의 두 번째 순서 도함수 추정과 행렬 연속성 논증을 사용하여, $ \widetilde{\Omega} $ 에서 이산 해 $ u_{h} $ 가 정규화된 문제의 해로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해가 비매끄러울 경우, 표준 유한차분 방법을 어떻게 안정적이고 수렴하도록 만들 수 있는가?
• RQ2 이산 해가 도메인의 컴팩트 부분집합에서 정규화된 문제의 해로 균일 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 유한차분 스킴이 매끄러운 해에 대해 뉴턴 방법보다 더 빠른 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 반복 방법의 수렴성은 초기 추측값에 의존하는가? 만약 그렇다면, 이러한 의존성은 어떻게 제거할 수 있는가?
• RQ5 매끄러운 해에 대해 유한차분 이산화의 渐近 수렴 속도는 얼마이며, 유한요소 방법과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 이산 해 $ u_h $ 는 컴팩트 부분집합에서 정규화된 문제 $ \det D^2\tilde{u} = f_{\tilde{m}} $ 의 해 $ \tilde{u} $ 로 균일 수렴하며, $ \widetilde{\Omega} $ 에서 $ \tilde{u} = u_{\tilde{m}} $ 이다.
• 시간에 따라 변화하는 유한차분 방법은 매끄러운 해에 대해 뉴턴 방법보다 최대 15배 빠르게 작동함을 입증하였다.
• 방정식을 적절히 재스케일링한 후, 시간에 따라 변화하는 알고리즘의 수렴성은 초기 추측값이 해에 얼마나 가까운지에 관계없이 독립적이다.
• 매끄러운 해에 대해, 행렬 고유값의 연속성과 재스케일링을 통해 수렴 속도가 유한요소 방법과 일치하는 것으로 입증되었다.
• 중앙 이산화에 대해 시간에 따라 변화하는 방법을 사용하여 일관된 이산화의 초기화를 수행할 경우, 비매끄러운 해에 대해서도 높은 정밀도를 달성할 수 있다.
• 이산 해 $ u_h $ 는 이산 볼록 함수이며, 이 방법은 이산 문제의 국소 해의 존재성과 유일성을 보장한다.