[논문 리뷰] On state-space representations of general discrete-time dynamical systems

Cristian R. Rojas, Paweł Wachel|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 06.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 결정론적, 비자기적, 이산시간, 인과적, 시간 불변 동적 시스템이 네로드 동치를 사용하여 상태공간 표현을 갖는다는 것을 증명한다. 위상적 가정 하에 상태공간의 원소 수나 차원의 최소성에 따라 최소화된 구성이 이루어지며, 비선형 및 비선형 시스템에 대한 일반적인 실현 문제 해결책을 제공한다. 미분 가능성이나 선형성 조건이 필요하지 않다.

ABSTRACT

In this paper we establish that every (deterministic) non-autonomous, discrete-time, causal, time invariant system has a state-space representation, and discuss its minimality.

연구 동기 및 목표

• 모든 인과적, 시간 불변, 이산시간 동적 시스템이 상태공간 표현을 갖는지 여부에 대한 오랜 동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 선형성, 연속성, 미분 가능성 조건 없이 그러한 표현의 일반적 구성 방법을 제공하기 위해.
• 네로드 동치와 위상적 관측 가능성 개념을 사용하여 도출된 상태공간 모델의 최소성을 확립하기 위해.
• 일반적인 비선형 시스템에 대해 입력-출력 시스템 이론과 상태공간 모델링 간 격차를 메우기 위해.

제안 방법

• 입력 시퀀스가 동일한 출력 궤적을 생성하는 경우를 기준으로 네로드 동치를 정의하여 상태를 동치류로 정의한다.
• 입력-출력 동치에 의해 정의된 ∼₀에 기반해 몫집합 U^Z / ∼₀를 상태공간으로 삼는 상태공간 모델 (f, g)을 구성한다.
• 입력-출력 행동을 몫공간으로 옮기는 방식으로 상태 전이 함수 f와 출력 함수 g를 정의한다.
• 기존 시스템 T를 정규화된 사영 사상 P̄를 통해 (f, g)가 실현함을 증명한다.
• 위상적 및 미분 구조적 가정을 적용하여 국소 관측 가능한 점들에서 최소 실현이 다양체 구조를 상속함을 보인다.
• 국소 관측 가능성 조건 하에서 네로드 표현이 상태공간 크기나 차원 측면에서 최소임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 인과적, 시간 불변, 이산시간 동적 시스템이 상태공간 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 그러한 시스템에 대한 최소 상태공간 표현은 무엇이며, 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 네로드 동치 기반 구성이 상태공간 원소 수나 차원 측면에서 최소 실현을 제공하는가?
• RQ4 네로드 표현의 최소성은 미분 가능성 또는 위상적 시스템에서 국소 관측 가능성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 인과적, 시간 불변, 이산시간 시스템은 네로드 동치 구성에 의해 상태공간 표현을 갖는다.
• 구성된 상태공간 U^Z / ∼₀는 더 이상 작은 상태공간으로서 시스템을 실현할 수 없기에 최소성의 의미에서 최소이다.
• 입력 및 출력 집합이 유한할 경우, 네로드 상태공간은 모든 실현 중에서 가능한 최소 상태 수를 갖는다.
• 위상적 가정 하에 네로드 표현은 국소 관측 가능한 점들에서 미분 가능 구조를 상속하며, 원래 상태공간의 차원과 일치한다.
• 선형성 또는 연속성 조건 없이도 네로드 표현의 최소성가 비선형 시스템에 대해서도 성립한다.
• 이 구성은 추가적인 구조적 가정(예: 미분 가능성 또는 연속성)이 필요 없이 강건하다.