[논문 리뷰] On stochastic equations with drift in $L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 스코로호드 임bedding과 컴팩트니스 추론을 사용하여, $L_d(\mathbb{R}^d)$에 속하는 비율 항을 가진 이토 스토케스틱 미분 방정식에 대해 약한 해와 관련된 마코프 과정의 존재를 확립한다. 녹린 함수에 대한 핵심 추정을 증명하며, $d/(d-1)$까지의 고차원 적분 가능성과 $A_\infty$-무켄하우프트 클래스 소속성을 포함한다. 이는 열화된 분산에 대한 확률적 분석 및 편미분방정식 이론의 기초 결과를 확장한다.

ABSTRACT

For Itô stochastic equations in $\mathbb{R}^{d}$ with drift in $L_{d}$ several results are discussed such as the existence of weak solutions, the existence of the corresponding Markov process, Aleksandrov type estimates of their Green's functions, which yield their summability to the power of $d/(d-1)$, the Fabes-Stroock type estimates which show that Green's functions are summable to a higher degree, the Fanghua Lin type estimates, which are one of the main tools in the $W^{2}_{p}$-theory of fully nonlinear elliptic equations, the fact that Green's functions are in the class $A_{\infty}$ of Muckenhoupt and a few other results.

연구 동기 및 목표

• 이토 스토케스틱 방정식의 비율 계수 $L_d(\mathbb{R}^d)$에 속할 경우, 고전적 방법이 실패하는 중요한 한계 경우에서 약한 해의 존재를 확립하는 것.
• 해와 관련된 강한 마코프 과정의 존재를 증명하는 것.
• 해당 타원형 연산자의 녹린 함수에 대한 정량적 추정을 도출하는 것. 이는 고차원 적분 가능성과 $A_\infty$-무켄하우프트 클래스 소속성을 포함한다.
• 완전 비선형 타원형 방정식의 $W^{2}_p$-이론 기법을 $L_d$ 비율 조건이 있는 스토케스틱 설정으로 확장하는 것.
• 특이한 비율 조건 하에서 약한 유일성과 경로의 행동에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 비율 및 분산 계수를 $L_d$에서 근사화함으로써 약한 해를 구성하기 위해 스코로호드의 임베딩 방법을 사용한다.
• 근사 과정의 법칙에 대한 컴팩트니스와 타이트니스 추론을 통해 약한 극한을 추출한다.
• 전이 밀도의 하한을 도출하기 위해 확률적 커플링과 시간-공간 스케일링을 적용한다. 이는 퇴출 시간 추정에 기반한다.
• 앨렉산드로프 유형 및 패이비스-스트로크 유형 부등식을 사용하여 녹린 함수에 대한 사전 추정을 유도한다.
• 방후아 린 유형의 추정을 활용하여 녹린 함수의 진동과 적분 가능성을 제어한다.
• 무켄하우프트 $A_\infty$-클래스 이론을 적용하여 녹린 함수가 이중성과 역 허더 조건을 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비율 항이 $L_d(\mathbb{R}^d)$에만 속할 경우, 고전적 $L_p$-이론의 실패에도 불구하고 이토 SDE에 대해 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 해당 SDE의 생성자와 관련된 녹린 함수의 적분 가능성 성질은 무엇인가?
• RQ3 $L_d$ 비율 조건 하에서 녹린 함수가 무켄하우프트 $A_\infty$ 클래스에 속함을 보일 수 있는가?
• RQ4 패이비스-스트로크 및 방후아 린 추정은 어느 정도까지 $L_d$ 비율 영역으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 비율 항이 $L_d$ 조건을 만족할 경우, 해의 약한 유일성이 보장되는가?

주요 결과

• $L_d(\mathbb{R}^d)$에 속하는 비율을 가진 이토 SDE에 대해 약한 해가 존재하며, 이는 근사화와 근사 과정의 법칙의 타이트니스를 통해 구성된다.
• 관련 타원형 연산자의 녹린 함수는 $L^{d/(d-1)}(\mathbb{R}^d)$에 속하며, $\|b\|_{L_d}$와 타원형 상수에만 의존하는 균일한 유계성을 가진다.
• 녹린 함수는 고차원 적분 가능성을 만족한다: 패이비스-스트로크 추정을 통해 어떤 $p > d/(d-1)$에 대해 $L^p(\mathbb{R}^d)$에 속한다.
• 녹린 함수는 무켄하우프트 $A_\infty$ 클래스에 속하며, 이는 역 허더 부등식과 이중성 성질을 의미한다.
• 해 과정은 강한 마코프 과정이며, $L_d$ 비율 조건 하에서 약한 유일성이 성립한다.
• 논문은 구의 퇴출 시간이 거듭제곱 감소 형태 $\rho^\nu$를 가지며, 이는 적분 가능성 결과의 기초를 이룬다. 여기서 $\nu>0$이다.