[논문 리뷰] On strong approximation for algebraic groups

Andrei S. Rapinchuk|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 18.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수적 군에서의 강한 근사에 대한 종합적 서베이를 제공하며, 고전적 $S$-산술 군과 자리-밀도 부분군에 대한 현대적 결과에 초점을 맞춘다. 논문은 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 이 기본 행렬 생성을 통해 강한 근사를 만족하지만, $ \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 는 그렇지 않음을 입증하고, 자리-밀도 부분군의 아델릭 폐쇄에 대한 바이스페일러의 정리를 사용하여 이러한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

This is an expanded version of my talk given at the workshop "Hot Topics: Thin Groups and Super-strong Approximation" (MSRI, Berkeley, February 6-10, 2012).

연구 동기 및 목표

• 강한 근사에 관한 알려진 결과를 대수적 군에 대해 서베이하는 것, 특히 $S$-산술 및 자리-밀도 부분군에 초점 맞추기.
• $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$와 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 사이의 강한 근사성에 대한 차이를 명확히 하기, 비록 정의 방정식은 유사하지만.
• 자리-밀도 부분군의 아델릭 폐쇄에 대한 바이스페일러의 정리와 그 구조론적 함의를 제시하기.
• 군 이론에서의 응용, 특히 루보츠키의 대안과 선형 군에서의 부분군 성장에 주목하기.
• 특히 2차 및 3차 특성에서의 기술적 과제를 핑크의 최소 삼중체 이론을 통해 해결하기.

제안 방법

• 강한 근사를 $X(\mathbb{Z})$ 가 $X(\hat{\mathbb{Z}})$ 에 조밀하게 포함됨으로써 정의하기 위해 $X(\hat{\mathbb{Z}}) = \varprojlim X(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 의 역극한 위상 구조를 사용한다.
• 중국인의 나머지 정리를 적용하여 $\hat{\mathbb{Z}} \simeq \prod_p \mathbb{Z}_p$ 를 식별함으로써, $X(\mathbb{Z}_p)$ 에서 $p$-진 위상을 사용할 수 있도록 한다.
• 강한 근사를 $\mathrm{SL}_2$ 에 대해 확립하기 위해 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 에서의 기본 행렬 생성을 활용하여 환원 사상의 상사성(_surjectivity_)을 증명한다.
• 자리-밀도 부분군의 정의 링을 정의하기 위해 $\gamma \in \Gamma$ 에 대해 $A = \mathrm{tr}(\mathrm{Ad} \, \gamma)$ 의 트레이스 링을 사용한다.
• 바이스페일러의 정리를 적용하여, 자리-밀도이고 유한 생성인 부분군 $\Gamma \subset G(k)$ 에 대해, 아델릭 폐쇄 $\widehat{\Gamma}$ 가 $G(\widehat{A_b})$ 에서 열려 있음을 보인다.
• 포프로페인 완비화 $\widehat{A_b}$ 와 국소화 $A_b$ 를 사용하여, $\Gamma'$ 가 $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ 에 조밀하게 통합되는 군 체를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $m$ 에 대해 환원 사상 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 가 상사성이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 는 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 와 유사한 정의 방정식을 가짐에도 불구하고 강한 근사를 만족하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 바이스페일러의 정리는 단순 연결된 거의 단순 대수적 군에서 자리-밀도 부분군의 아델릭 폐쇄를 어떻게 묘사할 수 있는가?
• RQ4 트레이스 링과 그 국소화는 대수적으로 닫힌 체 위에서 자리-밀도 부분군의 구조 이론에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 강한 근사는 선형 군에서의 구조적 이분법, 예를 들어 루보츠키의 대안으로 이르는가?

주요 결과

• 모든 $m \geq 1$ 에 대해 환원 사상 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ 는 상사적이다. 이는 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 에서의 강한 근사를 확립한다.
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ 는 그 아델릭 폐쇄에서의 프로프로페인 위상에서의 밀도가 없기 때문에 강한 근사를 만족하지 못한다.
• 바이스페일러의 정리는 자리-밀도이고 유한 생성인 부분군 $\Gamma \subset G(k)$ 에 대해, $\Gamma'$ 가 $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ 에 조밀하게 통합되는 링 $A_b$ 가 존재함을 보장한다.
• $\Gamma = \langle g_1, \dots, g_d \rangle \subset \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ 이면, 모든 소수 $p > N$ 에 대해 $\rho_p(\Gamma) = \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ 가 되는 $N = N(d,m,n)$ 이 존재한다.
• 루보츠키의 대안은 특성 0인 체 위의 유한 생성 선형 군이 유한 가군이거나, 어떤 유한한 소수 집합 $\Pi$ 에 대해 $G(\widehat{\mathbb{Z}_\Pi})$ 에로의 프로프로페인 완비화 사상이 존재함을 의미한다.
• 2차 및 3차 특성에서는 트레이스 링이 올바른 정의 링이 아닐 수 있다. 이러한 경우에 핑크의 최소 삼중체 이론이 올바른 프레임워크를 제공한다.