[논문 리뷰] On Strongly Nonlinear Eigenvalue Problems in the Framework of Nonreflexive Orlicz-Sobolev Spaces

Edcarlos D. Silva, J.V. Gonçalves외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비반사적 오르리치-소볼레프 공간에서 $\Phi$-라플라스 연산자에 의해 지배되는 강하게 비선형적인 고유값 문제에 대해, $\Delta_2$ 조건을 요구하지 않고도 비음수 약한 해의 존재성과 다중성을 확립한다. 주요 기여는 비반사적 공간에서의 반사성 결여에도 불구하고, 큰 매개수 $\lambda$ 값에서 $m-1$개의 해가 존재함을 증명한 것으로, 이를 위해 철저히 구성된 비반사적 오르리치-소볼레프 공간의 부분공간에서 변분법과 위상적 방법을 사용한다.

ABSTRACT

It is established existence and multiplicity of solutions for strongly nonlinear problems driven by the $Φ$-Laplacian operator on bounded domains. Our main results are stated without the so called $Δ_{2}$ condition at infinity which means that the underlying Orlicz-Sobolev spaces are not reflexive.

연구 동기 및 목표

• 비반사적 오르리치-소볼레프 공간에서 $\Phi$-라플라스 연산자를 포함하는 강하게 비선형 고유값 문제에 대해 약한 해의 존재성과 다중성을 확립하는 것.
• 기존에 반사성을 암시하는 것으로 알려진 표준적인 $\Delta_2$ 조건을 무한대에서 제거함으로써, 반사성 결여 상태에서도 결과를 확장하는 것.
• 비선형성 $f(u)$에 대해 일반적인 성장 조건을 고려하고, 특정 구간에서 양음의 값 사이를 진동하는 행동을 포함하는 것.
• 전체 비반사적 오르리치-소볼레프 공간에서 에너지 함수가 잘 정의되지 않거나 $C^1$가 아닌 경우를 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 특정 성장 및 단조성 조건을 만족하는 $C^1$ 함수 $\phi$를 통해 정의된 $\Phi$-라플라스 연산자를 사용한다.
• 오르리치-소볼레프 공간 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$에서 작업하며, $\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$이며 $\Delta_2$ 조건을 가정하지 않는다.
• 하향 및 상향 해 방법을 포함한 변분법과 위상적 방법을 활용하여 다수의 해 존재성을 증명한다.
• $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$의 적절한 부분공간을 구성하여 에너지 함수가 잘 정의되고 임계점을 갖는다는 것을 보장한다.
• 비반사적 오르리치 공간에서의 일반화된 그린 공식과 경계 이론을 적용하여 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$에 속하는 함수의 영 경계 조건을 특성화한다.
• 비선형성 $f$를 기존의 홀함수로 확장함으로써, $2(m-1)$개의 해를 얻으며, 이는 부호에 대해 대칭적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비반사적 오르리치-소볼레프 공간에서 $\Delta_2$ 조건 없이도 $\Phi$-라플라스 문제에 대해 다수의 비음수 약한 해가 보장될 수 있는가?
• RQ2 비선형성 $f(u)$에 어떤 조건이 성립하면, $L^\infty$-노름이 고정된 구간에 속하는 $m-1$개의 서로 다른 해가 존재하는가?
• RQ3 에너지 함수가 전체 비반사적 오르리치-소볼레프 공간에서 $C^1$이거나 조차 잘 정의되지 않는 경우, 변분법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 비반사적 설정에서 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$의 영 경계 공간을 특성화하는 데 있어 쌍대 함수 $\tilde{\Phi}$와 경계 이론의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• $\overline{\lambda}$ 보다 큰 모든 $\lambda > \overline{\lambda}$에 대해, $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 내에서 $\|u_k\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$ 를 만족하는 비음수 약한 해 $u_1, \dots, u_{m-1}$가 적어도 $m-1$개 존재한다.
• $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$가 $\Delta_2$ 조건이 없어 비반사적일지라도 조건 $(f_1)$--$(f_3)$ 하에서 $m-1$개의 해 존재가 보장된다.
• 역으로, 비음수 해 $u$가 $\|u\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$ 를 만족하면, 반드시 $\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(s)\,ds > 0$ 이 성립해야 한다.
• 헤스(Hess)와 로크-숄미트(Loc–Schmitt)의 $p$-라플라스 문제에 대한 이전 결과를 더 일반적인 $\Phi$-라플라스 문제로 확장하였다.
• 비반사적 $\Phi$-함수의 예로는 $\Phi(t) = e^t - t + 1$, $\gamma > 1/2$ 인 $\Phi(t) = (1+t^2)^\gamma - 1$, $p \geq 1$ 인 $\Phi(t) = t^p \log(1+t)$ 가 포함된다.
• 비선형성 $f$를 기존의 홀함수로 확장함으로써, 최소 $2(m-1)$개의 약한 해가 존재한다: $m-1$개의 양수 해와 $m-1$개의 음수 해로 구성되며, 각각의 $L^\infty$-노름은 $(a_k, a_{k+1}]$ 구간에 속한다.