[논문 리뷰] On structured surfaces with defects: geometry, strain incompatibility, internal stress, and natural shapes

Ayan Roychowdhury, Anurag Gupta|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 13.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 50인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래핀, 액체 결정, 얇은 껍질과 같은 2차원 구조 표면의 변형, 회전, 유클리드가 아닌 기하학적 결함을 기하학적 프레임워크로 모델링하기 위한 미분기하학적 접근법을 개발한다. 변형 불일치의 원인으로서 결함 밀도를 취급하고 운동학적 분해와 탄성 물성 법칙을 결합함으로써 내부 응력장과 자연적인 변형된 형태를 예측하며, 소규모 평면 변형과 중간 정도의 회전을 가진 키르히호프-라브 껍질에 대한 통합된 이론를 제공한다.

ABSTRACT

Given a distribution of defects on a structured surface, such as those represented by 2-dimensional crystalline materials, liquid crystalline surfaces, and thin sandwiched shells, what is the resulting stress field and the deformed shape? Motivated by this concern, we first classify, and quantify, the translational, rotational, and metrical defects allowable over a broad class of structured surfaces. With an appropriate notion of strain, the defect densities are then shown to appear as sources of strain incompatibility. The strain incompatibility relations, with appropriate kinematical assumptions on the decomposition of strain into elastic and plastic parts, and the stress equilibrium relations, with a suitable choice of material response, provide the necessary equations for determining both the internal stress field and the deformed shape. We demonstrate this by applying our theory to Kirchhoff-Love shells with a kinematics which allows for small in-surface strains but moderately large rotations.

연구 동기 및 목표

• 2차원 구조 표면(2차원 결정, 액체 결정, 얇은 껍질 포함)의 결함을 분석하기 위한 통합된 기하학적 및 기계적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 미분기하학을 사용하여 구조 표면상의 이동(불량), 회전(불량), 기하학적(빈자리, 성장) 결함를 체계적으로 분류하고 정량화하기 위해.
• 결함 밀도와 변형 불일치 사이의 관계를 유도하여 내부 응력과 변형된 형태를 예측할 수 있도록 하기 위해.
• 고전적 판 이론을 연속적인 결함 분포를 포함하도록 확장하기 위해 플라스틱 변형 및 곡률 효과를 통합하기 위해.
• 운동학적 및 물성 법칙 가정 하에 결함이 있는 2차원 표면의 자연스러운(응력이 없는) 형태와 내부 응력장을 체계적으로 결정하는 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 비유클리드 미분기하학을 사용하여 표면의 계량, 접선, 곡률에서의 결함을 기하학적 불일치로 모델링한다.
• 표면 내 전단(불량), 곡률(불량), 비계량성(기하학적 비정상성) 텐서를 통해 결함 밀도를 도입한다.
• 변형을 탄성 및 플라스틱 부분으로 분해하고, 리만 곡률 텐서에서 결함 원천으로 인해 발생하는 변형 불일치를 유도한다.
• 플라스틱 변형장을 결함에 의해 유도된 항으로 포함시켜 Föppl-von Kármán 방정식을 얇은 껍질의 제어 방정식에 적용한다.
• 2차 응력 평형을 위한 에어리 응력 함수 수식을 유도하며, 응력 성분과 비조화 연산자 및 결함 원천을 연결한다.
• 전체 변형의 호환성 조건과 굽힘 및 막대 강성의 물성 관계를 사용하여 경계값 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 미분기하학을 사용하여 구조적 2차원 표면상의 이동, 회전, 기하학적 결함를 체계적으로 분류하고 정량화할 수 있는가?
• RQ2 결함이 있는 2차원 표면에서 변형 불일치의 기하학적 기원은 무엇이며, 이는 어떻게 결함 밀도와 관련이 있는가?
• RQ3 결함 분포는 얇은 탄성 표면의 내부 응력장과 자연스러운(응력 없는) 변형된 형태에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 Föppl-von Kármán 방정식은 플라스틱 변형 및 곡률 원천을 통해 연속적인 결함 분포를 포함하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ5 성장 또는 열적 효과로 인한 기하학적 비정상성은 2차원 재료의 형태 불안정성과 잔류 응력에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 불량, 불량, 기하학적 비정상성 등의 결함는 리만 곡률 텐서를 통해 변형 불일치의 원천으로 작용함을 보여준다.
• 변형 불일치 방정식은 비앙키-파도바 항등식에서 유도되며, 전단, 곡률, 비계량성으로 표현된 결함 밀도 필드에 기반한다.
• 키르히호프-라브 껍질의 경우, 제어 방정식은 결함에 의존하는 소스 항이 포함된 Föppl-von Kármán 방정식으로 단순화된다: $Dw_{,\beta\beta\beta\beta} + [w,\theta] = D\tilde{\theta}_p$ 및 $\frac{1}{E}\theta_{,\beta\beta\beta\beta} - \frac{1}{2}[w,w] = -\tilde{\theta}_p$.
• 굽힘 강성이 0인 막대에서는 자연스러운 형태가 비동차 몽주-암페르 방정식에 의해 결정된다: $[w,w] = 2\tilde{\theta}_p$, 여기서 $\tilde{\theta}_p$는 플라스틱 변형 기여이다.
• 이 이론은 그래핀과 지질 막과 같은 결함이 있는 2차원 재료의 자연스러운 형태와 내부 응력을 성공적으로 예측하며, 성장에 의해 유도된 기하학적 비정상성 포함된 경우에도 적용 가능하다.
• 이 프레임워크는 토러스나 모비우스 표면 등의 전역 위상 결함과 볼록하지 않은 재료 거동에까지 확장 가능하여 주름과 상변화 패tern을 모델링할 수 있다.