[논문 리뷰] On Subcomplete Forcing

Kaethe Minden|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 30.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제인센가 도입한, 가산 닫힘(forcing)을 일반화하는 집합론적 포스팅 노선인 부분완비 포스팅(subcomplete forcing)을 조사한다. 부분완비 포스팅이 $ω_1$-트리의 핵심 성질, 예를 들어 수신 트리(Suslin trees)의 유일지점 성질(unique branch property)를 유지하는 것을 입증하며, 부분완비 최대원리(subcomplete maximality principle)와 부분완비 복귀공리(subcomplete resurrection axiom)가 큰 기수와의 등가일관성(equiconsistency)을 가지며, 또한 대각 피크리 포스팅(diagonal Prikry forcing)이 부분완비임을 보여준다.

ABSTRACT

I survey an array of topics in set theory in the context of a novel class of forcing notions: subcomplete forcing. Subcompleteness was originally defined by Ronald Jensen. I have attempted to make the subject somewhat more approachable to set theorists, while showing various properties of subcomplete forcing which one might desire of a forcing class, drawing comparisons between subcomplete forcing and countably closed forcing. In particular, I look at the interaction between subcomplete forcing and $ω_1$-trees, preservation properties of subcomplete forcing, the subcomplete maximality principle, the subcomplete resurrection axiom, and show that generalized diagonal Prikry forcing is subcomplete.

연구 동기 및 목표

• 부분완비 포스팅의 정의와 성질을 명확히 하여 집합론자들이 더 쉽게 접근할 수 있도록 하기.
• 부분완비 포스팅이 $ω_1$-트리와 어떻게 상호작용하는지, 특히 수신 트리의 유일지점 성질을 어떻게 유지하는지 조사하기.
• 부분완비 최대원리(MP$_{sc}$)의 일관성 강도를 분석하고, 가산 닫힘 최대원리와 비교하기.
• 모델 $H_{\omega_2}$ 상에서 부분완비 복귀공리(RA$_{sc}$)를 정의하고 연구하며, 그 일관성 강도를 규명하기.
• 부분완비 최대원리와 복귀공리가 동시에 일관되게 성립할 수 있는지 조사하고, 이를 위해 필요한 큰 기수 가정을 규명하기.

제안 방법

• 바이즈 이론과 리프트업 기법을 적응 및 확장하여, 기본 임bedding과 일반 확장의 맥락에서 부분완비 포스팅을 분석한다.
• 대부분의 대각 피크리 일반성 기준을 사용하여, 대각 피크리 포스팅이 부분완비임을 증명한다.
• 모델 내에서의 완전성(fullness)과 $σ$-완비성의 개념을 적용하여, 부분완비 포스팅 노선의 일반성과 닫힘 성질을 검증한다.
• 반복 정리와 리프트 아규먼트를 사용하여, 부분완비 포스팅이 정적 부분집합과 트리 성질을 유지함을 보여준다.
• 모odal 논리 프레임워크를 적용하여 부분완비 최대원리와 그 국소 변형을 분석한다.
• 특히 강력하게 올라가는 완전 반영 기수를 포함한 큰 기수 가정을 조합하여, MP$_{sc}$와 RA$_{sc}$의 동시에 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분완비 포스팅은 수신 트리의 유일지점 성질을 유지하는가?
• RQ2 부분완비 최대원리(MP$_{sc}$)의 일관성 강도는 무엇이며, 가산 닫힘 최대원리와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 모델 $H_{\omega_2}$ 상에서 정의된 부분완비 복귀공리(RA$_{sc}$)는 올라가는 기수와 등가일관성인가?
• RQ4 부분완비 최대원리와 부분완비 복귀공리가 동시에 일관되게 성립할 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 큰 기수 강도가 필요한가?
• RQ5 대각 피크리 포스팅은 부분완비인가? 그리고 일반화된 대각 피크리 일반성 기준을 만족하는가?

주요 결과

• 부분완비 포스팅은 $ω_1$-트리에 새로운 코 final 지점(branch)을 추가하지 않으며, 수신 트리의 유일지점 성질을 유지한다.
• 볼드페이스 부분완비 최대원리(MP$_{sc}$)는 가산 닫힘 경우와 유사하게 완전 반영 기수와 등가일관성이다.
• 모델 $H_{\omega_2}$ 상에서 정의된 부분완비 복귀공리(RA$_{sc}$)는 올라가는 기수와 등가일관성이다.
• 부분완비 최대원리와 부분완비 복귀공리는 직접적으로 상호 영향을 주지 않지만, 동시에 일관되게 성립할 수 있다.
• MP$_{sc}$와 RA$_{sc}$의 동시에 일관성은 강력하게 올라가는 완전 반영 기수의 존재와 등가일관성이다.
• 대각 피크리 포스팅은 일반화된 대각 피크리 일반성 기준과 리프트업 기법을 통해 부분완비임이 입증된다.