[논문 리뷰] On subgraphs of $C_{2k}$-free graphs and a problem of K\"uhn and Osthus

Dániel Grósz, Abhishek Methuku외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 17.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이론적 그래프 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결하여, 임의의 C6-free 그래프의 이분법적, C4-free 부분그래프에서 간선의 최대 비율이 정확히 3/8임을 증명한다. 이는 이전에 추측된 하한을 달성한 것이다. 저자들은 확률적 하이퍼그래프 구성법과 에르되시의 이분법적 부분그래프에 관한 정리의 일반화를 사용하여, 큰 이분법적 부분그래프를 포함하지 못하는 C2k-free 그래프를 구성한다.

ABSTRACT

Let $c$ denote the largest constant such that every $C_{6}$-free graph $G$ contains a bipartite and $C_4$-free subgraph having $c$ fraction of edges of $G$. Gy\H{o}ri et al. showed that $\frac{3}{8} \le c \le \frac{2}{5}$. We prove that $c=\frac{3}{8}$. More generally, we show that for any $\varepsilon>0$, and any integer $k \ge 2$, there is a $C_{2k}$-free graph $G_1$ which does not contain a bipartite subgraph of girth greater than $2k$ with more than $\left(1-\frac{1}{2^{2k-2}} ight)\frac{2}{2k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_1$. There also exists a $C_{2k}$-free graph $G_2$ which does not contain a bipartite and $C_4$-free subgraph with more than $\left(1-\frac{1}{2^{k-1}} ight)\frac{1}{k-1}(1+\varepsilon)$ fraction of the edges of $G_2$. One of our proofs uses the following statement, which we prove using probabilistic ideas, generalizing a theorem of Erd\H{o}s: For any $\varepsilon>0$, and any integers $a$, $b$, $k \ge 2$, there exists an $a$-uniform hypergraph $H$ of girth greater than $k$ which does not contain any $b$-colorable subhypergraph with more than $\left(1-\frac{1}{b^{a-1}} ight)\left(1+\varepsilon ight)$ fraction of the hyperedges of $H$. We also prove further generalizations of this theorem. In addition, we give a new and very short proof of a result of K\"uhn and Osthus, which states that every bipartite $C_{2k}$-free graph $G$ contains a $C_{4}$-free subgraph with at least $1/(k-1)$ fraction of the edges of $G$. We also answer a question of K\"uhn and Osthus about $C_{2k}$-free graphs obtained by pasting together $C_{2l}$'s (with $k>l\ge3$).

연구 동기 및 목표

• C6-free 그래프의 이분법적, C4-free 부분그래프에서 간선의 최대 비율이 3/8임을 증명하는 것.
• 에르되시의 이분법적 부분그래프에 관한 정리(고지름 그래프에서의 이분법적 부분그래프)를 하이퍼그래프 및 고정 색칠 조건으로 일반화하는 것.
• 지름 >2k 또는 이분법적이고 C4-free인 부분그래프를 포함하지 않는 C2k-free 그래프를 구성하여 엄밀한 상한을 확립하는 것.
• 쿠른과 오스트후스의 결과(이분법적 C2k-free 그래프에서 C4-free 부분그래프의 최소 간선 수)에 대해 새로운 간결한 증명을 제시하는 것.
• 쿠른과 오스트후스가 제기한 질문에 답하는 것: k > l ≥3 인 C2l-사이클을 붙여 만든 C2k-free 그래프에 대해.

제안 방법

• 고지름을 가지며 큰 b-색칠 가능한 부분하이퍼그래프를 포함하지 않는 a-균일 하이퍼그래프를 확률적 구성법으로 생성하는 것.
• 에르되시의 결과를 일반화하여, 임의의 ε > 0에 대해, 지름 >k 이며 b-색칠 가능한 부분하이퍼그래프가 총 하이퍼간선의 (1 − 1/b^{a−1})(1+ε) 비율을 초과하지 않는 a-균일 하이퍼그래프가 존재함을 보이는 것.
• 고지름 하이퍼그래프의 하이퍼간선을 고정된 작은 그래프(예: C6)로 대체하여, 제어된 부분그래프 구조를 가지는 C2k-free 그래프를 만드는 것.
• C4를 제거하면서도 간선의 대부분을 유지하는 두 색칠 및 간선 제거 절차를 적용하여 3/8 상한을 증명하는 것.
• 하이퍼그래프의 2-쉐이드와 사이클 구조 분석을 사용하여 구성된 그래프에서 C8를 포함하지 않음을 증명하는 것.
• 선형성과 정점 대체 기법을 활용하여 간선의 유일성과 부분그래프 조밀도를 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 C6-free 그래프가 최소 c·e(G) 간선을 가지는 이분법적, C4-free 부분그래프를 포함할 수 있는 최적의 상수 c는 무엇인가요?
• RQ2 c에 대한 상한 2/5를 향상시킬 수 있으며, 3/8가 엄밀한가요?
• RQ3 지름 >2k 또는 이분법적이고 C4-free인 부분그래프를 포함하지 않는 C2k-free 그래프가 존재합니까?
• RQ4 에르되시의 정리(고지름 그래프에서 이분법적 부분그래프)를 고정 색칠 조건이 있는 하이퍼그래프로 일반화할 수 있나요?
• RQ5 C2l-사이클을 붙여 만든 C2k-free 그래프에서 이분법적, C4-free 부분그래프의 최대 간선 조밀도는 얼마입니까?

주요 결과

• 논문은 C6-free 그래프에 대해 최적의 상수 c가 정확히 3/8임을 증명하여, 지요리, 켄셀, 톰킨스의 추측을 해결한다.
• 모든 ε > 0 과 k ≥2 에 대해, 지름 >2k인 부분그래프를 가지지 않는 C2k-free 그래프 G가 존재하며, 이 그래프는 총 간선의 (1 − 1/2^{2k−2}) · 2/(2k−1) · (1+ε) 비율을 초과하는 간선을 가지는 이분법적 부분그래프를 포함하지 않는다.
• 지름 >2k 또는 이분법적이고 C4-free인 부분그래프를 포함하지 않는 C2k-free 그래프 G가 존재하며, 이 그래프는 총 간선의 (1 − 1/2^{k−1}) · 1/(k−1) · (1+ε) 비율을 초과하는 간선을 가지는 부분그래프를 포함하지 않는다.
• 저자들은 C6를 붙여 만든 C8-free 그래프를 2n개 정점에서 평균 차수 6·n^{1/9} 이상으로 구성하여, 붙인 C2k-free 그래프의 구성 결과를 확인한다.
• 쿠른과 오스트후스의 결과(모든 C2k-free 이분법적 그래프는 최소 1/(k−1)의 간선 수를 가지는 C4-free 부분그래프를 포함함)에 대해 새로운 간결한 증명을 제시한다.
• 에르되시의 정리의 하이퍼그래프 일반화를 확립한다: 임의의 ε > 0 에 대해, 지름 >k 이며 b-색칠 가능한 부분하이퍼그래프가 총 하이퍼간선의 (1 − 1/b^{a−1})(1+ε) 비율을 초과하지 않는 a-균일 하이퍼그래프가 존재한다.