[논문 리뷰] On subordination of holomorphic semigroups

A. M. Gomilko, Yuri Tomilov|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 06.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 Bernstein 함수 $\psi$에 대해, $-A$가 항상 holomorphic $C_0$-semigroup을 생성할 경우 $-\psi(A)$ 역시 그러한 성질을 갖는다고 규명한다. 이는 Kishimoto와 Robinson가 제기한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다. 또한, 원래의 $e^{-tA}$에서 유도된 하위순서(semigroup) $e^{-t\psi(A)}$의 해석적 영역(sector)과 영역 유계성(sectorial boundedness)이 유지됨을 증명하며, Carasso-Kato와 Fujita의 고전적 결과를 일반화하고 개선한다.

ABSTRACT

We prove that for any Bernstein function $ψ$ the operator $-ψ(A)$ generates a holomorphic $C_0$-semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ on a Banach space, whenever $-A$ does. This answers a question posed by Kishimoto and Robinson. Moreover, giving a positive answer to a question by Berg, Boyadzhiev and de Laubenfels, we show that $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ is holomorphic in the holomorphy sector of $(e^{-tA})_{t \ge 0},$ and if $(e^{-tA})_{t \ge 0}$ is sectorially bounded in this sector then $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ has the same property. We also obtain new sufficient conditions on $ψ$ in order that, for every Banach space $X$, the semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t\ge 0}$ on $X$ is holomorphic whenever $(e^{-tA})_{t\ge 0}$ is a bounded $C_0$-semigroup on $X$. These conditions improve and generalize well-known results by Carasso-Kato and Fujita.

연구 동기 및 목표

• 하위순서가 Bernstein 함수를 통해 이루어질 경우 $C_0$-semigroup의 해석성(holomorphicity)이 유지되는지 여부를 해결하는 것.
• 하위순서된 semigroup $e^{-t\psi(A)}$의 해석적 영역이 원래 semigroup $e^{-tA}$와 일치하는지 여부를 규명하는 것.
• $e^{-tA}$가 유계일 때마다 $e^{-t\psi(A)}$가 해석적이게 되는 $\psi$에 대한 충분조건을 설정하는 것.
• Carasso-Kato와 Fujita의 고전적 결과를 보다 일반화하고 개선하는 것 — 즉, Bernstein 함수의 개선 성질(improving property)을 더 넓은 범위에서 규명하는 것.

제안 방법

• Bernstein 함수 $\psi$와 관련된 하위확률 측도(semigroup of subprobability measures) $(\mu_t)_{t\geq 0}$를 통한 하위순서 원리(subordination principle)를 활용하며, $e^{-t\psi(z)} = \int_0^\infty e^{-zs}\mu_t(ds)$로 정의된다.
• 함수 해석학을 적용하여 $\psi(A)$를 적분 표현식 $e^{-t\psi(A)} = \int_0^\infty e^{-sA}\mu_t(ds)$로 정의함으로써, 연산자 함수 해석학과의 일致성을 확보한다.
• 완전한 Bernstein 함수(complete Bernstein functions)와 완전한 감소 함수(complete monotone functions)의 성질을 활용하여 영역의 성질과 해석적 각도(sectoriality and holomorphy angles)를 분석한다.
• Bernstein 함수와 완전한 감소 함수의 적분 표현식과 복합 규칙(composition rules)을 이용하여, $\psi$가 영역 유계성을 유지하는 조건을 도출한다.
• Bochner의 하위순서 이론과 Phillips의 이론을 응용하여 $A$와 $\psi(A)$의 스펙트럼 성질 간의 관계를 규명한다.
• 조화 해석학과 연산자 이론의 고급 도구를 활용하며, 하위확률 측도의 라플라스 변환의 구조와 영역 연산자 이론을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bernstein 함수 $\psi$를 통한 하위순서에 의한 해석적 $C_0$-semigroup의 해석성이 유지되는가?
• RQ2 하위순서된 semigroup $e^{-t\psi(A)}$의 해석적 영역이 원래 semigroup $e^{-tA}$의 영역에 포함되거나 일치하는가?
• RQ3 $-A$가 항상 해석적 $C_0$-semigroup을 생성할 경우, $\psi$에 어떤 조건이면 $-\psi(A)$도 해석적 $C_0$-semigroup을 생성하는가?
• RQ4 Carasso-Kato의 연구를 넘어서, 유계 $C_0$-semigroup을 해석적으로 만들 수 있는 '개선 성질(improving property)'을 더 일반적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 $e^{-tA}$가 영역에 유계이면 $e^{-t\psi(A)}$도 동일하게 영역에 유계인가?

주요 결과

• 모든 Bernstein 함수 $\psi$에 대해, $-A$가 항상 해석적 $C_0$-semigroup을 생성할 경우 $-\psi(A)$ 역시 그러한 성질을 갖는다. 이는 Kishimoto와 Robinson의 질문에 대한 긍정적 답변이다.
• $e^{-t\psi(A)}$는 $e^{-tA}$와 동일한 영역에서 해석적이며, $e^{-tA}$가 영역에 유계이면 $e^{-t\psi(A)}$ 역시 영역에 유계이다.
• 이 논문은 $e^{-tA}$가 유계일 때마다 $e^{-t\psi(A)}$가 해석적이게 되는 $\psi$에 대한 새로운 충분조건을 제시하며, Carasso-Kato 및 Fujita 기준을 일반화하고 개선한다.
• 특정 Bernstein 함수 $\psi$와 $\alpha \in (0,1)$에 대해 $[\psi(z^\alpha)]^{1/\alpha}$ 역시 Bernstein 함수임을 보이며, 기존 결과를 확장한다.
• 이전 논문 [34]에서의 주장에 존재하는 격차를 메우기 위해, 잘못된 추론에 의존하지 않고 해석성 보존을 정확히 증명하였다.
• 하위순서 사상 $\mathcal{M}: -A \mapsto -\psi(A)$는 $C_0$-semigroup의 해석적 영역과 영역 유계성을 모두 보존한다.