[논문 리뷰] On sums involving products of three binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 14.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 삼중 이항계수 합에 대한 새로운 $p^2$ 합동식을 증명하며, 특히 $\binom{2k}{k}^3$, $\binom{2k}{k}^2\binom{2k}{k+d}$ 및 관련 초함수 유형의 합을 다룬다. Zeilberger의 알고리즘과 다항식 재귀 기법을 사용하여, $p$의 특정 기하학적 및 홀짝 조건 하에서 이러한 합이 $p^2$ 모듈로에서 0이 됨을 증명하고, 이를 소수를 제곱수나 다른 이차형식의 합으로 표현하는 것과 연결하며, Sun과 Rodriguez-Villegas의 이전 추측을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we mainly employ the Zeilberger algorithm to study congruences for sums of terms involving products of three binomial coefficients. Let $p>3$ be a prime. We prove that $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+d}}{64^k}\equiv 0\pmod{p^2}$$ for all $d\in\{0,\ldots,p-1\}$ with $d\equiv (p+1)/2\pmod2$. If $p\equiv 1\pmod4$ and $p=x^2+y^2$ with $x\equiv 1\pmod4$ and $y\equiv 0\pmod2$, then we show $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}\equiv 2p-2x^2\pmod{p^2}\ \ \mbox{and}\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+1}^2}{(-8)^k}\equiv-2p\pmod{p^2}$$ by means of determining $x$ mod $p^2$ via $$(-1)^{(p-1)/4}\,x\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{k+1}{8^k}\binom{2k}k^2\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{2k+1}{(-16)^k}\binom{2k}k^2\pmod{p^2}.$$ We also solve the remaining open cases of Rodriguez-Villegas' conjectural congruences on $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{108^k},\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{256^k}, \ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{12^{3k}}$$ modulo $p^2$.

연구 동기 및 목표

• 특정 $m$에 대해 $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 / m^k \mod p^2$ 형태의 합에 대한 추측을 증명하고 확장하는 것.
• 특히 $p$가 홀수 소수일 경우, 세 개의 이항계수 곱을 포함하는 합에 대해 $p^2$ 모듈로에서 합동식을 확립하는 것.
• Legendre 기호와 이차형식을 통해 이러한 합을 소수의 산술적 성질, 예를 들어 $p = x^2 + y^2$ 또는 $p = x^2 + 2y^2$ 등과 연결하는 것.
• 초함수 슈퍼합동식을 포함하는 $\eta$-모듈러 형식과 관련된 Rodriguez-Villegas 유형의 추측을 검증하고 확장하는 것.
• Zeilberger의 알고리즘과 재귀 관계를 사용하여 주요 합동식을 뒷받침하는 다항식 항등식을 유도하고 검증하는 것.

제안 방법

• 종료 초함수 합에 대해 $\binom{n}{k}^3$를 포함하는 경우에 대해 Zeilberger의 알고리즘을 적용하여 두 번째 차수 선형 재귀 관계를 유도함으로써 모듈로 분석을 가능하게 한다.
• 주요 항등식 $f_n(x(x+1)) = D_n(x)^2$ 를 활용하며, 여기서 $f_n(x)$와 $D_n(x)$는 Delannoy 및 Schr"oder 수와 관련된 생성 다항식이다.
• 특히 $n = (p-1)/2$ 일 때 $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \mod p^2$ 라는 이항계수 항등식을 사용하여 $p$-진 전개와 함께 분석한다.
• 기존의 합동식, 예를 들어 $\binom{(p-1)/2}{k}^3 \equiv \binom{2k}{k}^3 / (-64)^k \mod p$ 를 활용하여 합을 알려진 형태로 축소한다.
• 특히 $p \equiv 1 \mod 4$ 이고 $p = x^2 + y^2$ 이면 $\binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \equiv 2x \mod p$ 라는 가우스의 합동식을 적용하여 핵심 합을 모듈로 $p$에서 평가한다.
• 예를 들어 $(3d+1)(3d+2)f(d) \equiv (3d+4)(3d+5)f(d+2) \mod p^2$ 와 같은 재귀적 내림(descend) 기법을 사용하여 고차수 $d$에서의 0이 되는 결과를 저차수 $d$로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다음 조건을 만족할 때 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+d}}{64^k} \equiv 0 \mod p^2$ 가 성립하는가? $d \equiv (p+1)/2 \mod 2$.
• RQ2 만약 $p \equiv 3 \mod 4$ 이면 합 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k}$ 를 $x$와 $p$로 표현할 수 있는가?
• RQ3 합 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2$ 와 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{2k+1}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2$ 는 $p = x^2 + y^2$ 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $p \equiv 1 \mod 4$ 일 때 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}$ 의 $p^2$-합동식은 무엇인가?
• RQ5 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}}{108^k}$ 와 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{4k}{2k}}{256^k}$ 의 합이 Rodriguez-Villegas가 예측한 $p^2$-합동식과 일치하는가?

주요 결과

• 만약 $p \equiv 3 \mod 4$ 이면 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k} \equiv (2p + 2 - 2^{p-1}) \binom{(p-1)/2}{(p+1)/4}^2 \mod p^2$ 이고, 이때 이항계수 값은 $p \equiv 3 \mod 4$ 일 때 모듈로 $p$에서 0이 된다.
• 만약 $p \equiv 1 \mod 4$ 이고 $p = x^2 + y^2$ 이며 $x \equiv 1 \mod 4$ 이면 $(-1)^{(p-1)/4} x \equiv \sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2 \mod p^2$ 이며, 이는 합이 직접적으로 $x$와 연결됨을 보여준다.
• 만약 $p \equiv 1 \mod 4$ 이면 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k} C_k}{8^k} \equiv -2 \sum_{k=0}^{p-1} \frac{k \binom{2k}{k}^2}{8^k} \equiv (-1)^{(p-1)/4} \left(2x - \frac{p}{x}\right) \mod p^2$ 이며, 이는 $x$의 산술적 성질과 깊이 연결되어 있음을 보여준다.
• $p \equiv 1 \mod 4$ 이고 $p = x^2 + y^2$, $x \equiv 1 \mod 4$ 이면 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k} \equiv 2p - 2x^2 \mod p^2$ 이며, 이는 추측을 확인한다.
• $p \equiv 3 \mod 8$ 이고 $p = x^2 + 2y^2$ 이면 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{(-64)^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)(4x^2 - 2p) \mod p$ 이며, 알려진 항등식을 통해 이는 $p^2$-합동식으로 상승된다.
• $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{12^{3k}} \equiv \left(\frac{12}{p}\right) \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4}^2 \mod p$ 이며, 가우스의 합동식과 결합하면 $p \equiv 5 \mod 12$ 일 때 Rodriguez-Villegas의 추측에 대한 $p^2$-형식이 유도된다.