[논문 리뷰] On Sushchansky p-groups

Ievgen Bondarenko, Dmytro Savchuk|ArXiv.org|2006. 12. 07.

semigroups and automata theory참고 문헌 10인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 표본표(tableau)를 통해 구성된 유한 생성 무한 $p$-군인 Sushchansky $p$-군이 기하군론에서 핵심적인 결과인 중간 성장성을 띤다는 것을 증명한다. 이들의 작용을 자동기계 군으로 변환하고 자기유사 폐쇄를 분석함으로써, 이러한 군들이 중간 성장성을 갖는 $\Gamma$-군과 동형임을 증명함으로써 성장과 주기 성장 함수에 대한 정확한 상한을 도출한다.

ABSTRACT

We study Sushchansky p-groups. We recall the original definition and translate it into the language of automata groups. The original actions of Sushchansky groups on p-ary tree are not level-transitive and we describe their orbit trees. This allows us to simplify the definition and prove that these groups admit faithful level-transitive actions on the same tree. Certain branch structures in their self-similar closures are established. We provide the connection with, so-called, G groups that shows that all Sushchansky groups have intermediate growth and allows to obtain an upper bound on their period growth functions.

연구 동기 및 목표

• Sushchansky $p$-군이 중간 성장을 갖는다는 것을 입증하여 군론에서 오랫동안 남아 있던 질문을 해결하는 것.
• Sushchansky 군의 원래 표본표 기반 정의를 더 나은 구조적 분석을 위해 자동기계 군의 언어로 번역하는 것.
• 이들 군이 $p$-진 트리 위에서 충실한 수준-전이적 작용을 갖는다는 것을 증명하여 현대 성장 이론의 적용을 가능하게 하는 것.
• Sushchansky 군을 중간 성장성을 갖는 $\mathsf{G}$-군과 연결함으로써 성장 함수와 주기 성장 함수에 대한 정확한 상한을 도출하는 것.

제안 방법

• Sushchansky 군을 표본표 표현으로부터 유도된 유한 초기 자동기계로 표현한다.
• 원래의 수준-전이적이지 않은 작용의 궤도 트리를 분석하여 동일한 $p$-진 트리 위에서 충실한 수준-전이적 작용을 구성한다.
• Sushchansky 군의 자기유사 폐쇄를 연구하고 그 분지 구조를 규명한다.
• Sushchansky 군의 성장 함수와 동일한 성장 함수를 갖는 중간 성장성을 갖는 $\mathsf{G}$-군 $H$를 구성한다.
• $\mathsf{G}$-군 이론을 활용하여 성장 함수와 주기 성장 함수에 대한 상한을 도출한다.
• 정규 분지 군과 핵심 이론의 결과를 적용하여 Sushchansky 군의 성장과 그 수준 2 제한의 성장을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전 연구에서 추측된 linem, Sushchansky $p$-군이 중간 성장을 갖는가?
• RQ2 Sushchansky 군의 원래 수준-전이적이지 않은 작용이 자동기계를 통해 충실한 수준-전이적 작용으로 대체될 수 있는가?
• RQ3 Sushchansky $p$-군의 성장 함수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 Sushchansky $p$-군의 주기 성장 함수는 어떻게 행동하며, 이를 상한으로 제한할 수 있는가?
• RQ5 Sushchansky 군과 중간 성장성을 갖는 $\mathsf{G}$-군 사이에 성장 함수 비교가 가능한 연결 고리가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 Sushchansky $p$-군은 중간 성장을 갖는다. 이는 이전에 개략적으로만 제시된 결과를 확인한 것이다.
• 임의의 Sushchansky $p$-군 $G_\lambda$의 성장 함수 $\gamma_{G_\lambda}(n)$는 $e^{n^\alpha} \precsim \gamma_{G_\lambda}(n) \precsim e^{n^\beta}$를 만족하며, 여기서 $\alpha = \frac{\log p}{\log p + \log 2}$ 이고 $\beta = \frac{\log p}{\log p - \log \eta_r}$ 이며 $r = p^2$ 이다.
• $G_\lambda$의 성장 함수는 두 번째 수준에서의 제한으로 생성된 $\mathsf{G}$-군 $H$의 성장 함수와 동치이며, 즉 $\gamma_{G_\lambda}(n) \thicksim \gamma_H(n)$ 이다.
• 토르션 성장 함수 $\pi_{G_\lambda}(n)$ 는 어떤 상수 $C > 0$ 에 대해 $C n^{\log_{1/\eta_r}(p)}$ 보다 작거나 같게 상한이 주어진다. 여기서 $\eta_r$ 은 $x^r + x^{r-1} + x^{r-2} - 2$ 의 양의 실근이다.
• 군 $G_\lambda$ 는 중간 성장을 갖는 $\mathsf{G}$-군과 동형이며, 그 성장 유형은 관련 자동기계의 핵심에 의해 결정된다.
• Sushchansky 군 $G_\lambda$ 의 자기유사 폐쇄는 유한 지수의 부분군을 중심으로 정규 분지 구조를 갖는다. 이는 그 풍부한 분지 구조를 확인하는 데 기여한다.