[논문 리뷰] On symmetries of the Strassen algorithm

V. P. Burichenko|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 26.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 스트라센의 행렬 곱셈 알고리즘의 대칭 구조를 분석하여, 비자명한 자동형군이 존재함을 보이며, 그 차수는 36(확장된 경우 72)이다. 이 군은 세 원소에 대한 두 대칭군의 직접곱과 동형이다. 이 큰 대칭군은 3×3 행렬 곱셈의 최적 알고리즘이 또한 상당한 대칭성을 보일 가능성이 있음을 시사하며, 이는 그 발견을 위한 기하학적이고 군론적인 전략으로 유망하다.

ABSTRACT

We consider the famous Strassen algorithm for fast multiplication of matrices. We show that this algorithm has a nontrivial finite group of automorphisms of order 36 (namely the direct product of two copies of the symmetric group on 3 symbols), or even 72, if we consider "extended" Strassen algorithm. This is an indirect evidence that the (unknown at present) optimal algorithm for multiplication of two size 3 by 3 matrices also may have a large automorphism group, and this may be a fruitful idea for a search of such an algorithm. In the beginning we give a brief introduction to the subject, to make the text accessible for specialists in the representation theory of finite groups.

연구 동기 및 목표

• 스트라센의 2×2 행렬 곱셈 알고리즘의 자동형군을 조사하여 숨겨진 대칭성을 밝혀내기.
• 스트라센 알고리즘에 큰 자동형군이 존재하는 것이 3×3 행렬 곱셈의 최적 알고리즘을 찾는 데 구조적 단서가 될 수 있는지 탐색하기.
• 최소 곱셈 알고리즘을 찾는 데 군론적 및 표현론적 방법의 사용을 촉진하기.
• 스트라센 알고리즘의 자동형군이 $ S_3 \times S_3 $ 와 동형이며, 차수 36이거나 확장된 경우 72임을 증명하기.
• 향후 최적 알고리즘을 찾는 데 있어 큰 자동형군을 가정하고 이를 활용하는 것이 지도 원칙이 될 수 있음을 제안하기.

제안 방법

• 2차원 벡터 공간 $ V $ 에 대해, 스트라센 알고리즘을 공간 $ V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* $ 에 있는 텐서로 모델링하기.
• $ \widetilde{\mathcal{S}} $ 를 세그레 다양체와 두 개의 특수 텐서인 $ -S(2,2,2) $ 와 $ \delta^\otimes 3 $ 의 합집합으로 정의하여, 스트라센과 항등원 성분을 나타내기.
• 자동형군 $ \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathcal{S}}) $ 를 $ \widetilde{\mathcal{S}} $ 를 집합적으로 보존하는 선형 변환의 군으로 정의하기.
• 준사영을 사용하여 자동형의 작용을 부분공간에 분석하고, 텐서 인자들에 대한 유도된 치환에 대한 제약 조건을 규명하기.
• 자동형군이 두 집합의 작용에 의해 생성됨을 증명하기: $ \widetilde{A}_2, \widetilde{A}_3 $ (인자들을 치환하고 쌍대화하기) 및 $ \widetilde{B}_1, \widetilde{B}_2 $ (개별 인자에 작용하기).
• 안정자와 스칼라 작용의 세부 분석을 통해 전체 자동형군이 $ S_3 \times S_3 $ 와 동형이며, 차수 36이거나 확장된 경우 72임을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트라센의 2×2 행렬 곱셈 알고리즘의 자동형군의 크기와 구조는 무엇인가?
• RQ2 스트라센 알고리즘에 큰 자동형군이 존재하는 것이 3×3 행렬 곱셈의 최적 알고리즘을 찾는 데 구조적 단서가 될 수 있는가?
• RQ3 최적의 행렬 곱셈 알고리즘이 유지하는 기하학적 또는 군론적 불변량은 무엇이며, 이는 그들의 구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 스트라센 알고리즘의 자동형군은 알려진 유한군과 동형이며, 만약 그렇다면 어떤 군인가?
• RQ5 스트라센 알고리즘의 자동형군은 확장될 수 있으며, 이는 알고리즘의 구조에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 스트라센 알고리즘의 자동형군은 $ S_3 \times S_3 $ 와 동형이며, 차수 36인 유한군이다.
• 확장된 스트라센 알고리즘을 고려할 경우 자동형군의 차수는 72로 증가하여 추가적인 대칭성이 있음을 시사한다.
• 자동형군은 알고리즘의 기초 텐서 표현에 있는 여섯 개의 텐서 인자에 대해 치환과 쌍대화를 통해 작용한다.
• 군의 구조는 관련된 2차원 벡터공간들에 대한 치환 대칭성과 쌍대 사상 간의 상호작용에서 유래된다.
• 자동형군은 세그레 다양체와 두 개의 특수 텐서인 $ -S(2,2,2) $ 와 $ \delta^\otimes 3 $ 를 보존하며, 이는 알고리즘과 항등원 성분을 암시한다.
• 전체 자동형군은 네 가지 작용에 의해 생성되며, 이는 두 개의 인자들을 치환하고 쌍대화하는 것과, 두 개의 개별 인자에 대해 스칼라 자유도를 가진 독립적인 작용이다.