[논문 리뷰] On Tannaka duality for vector bundles on p-adic curves

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|2005. 06. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 p진 곡선 위의 잠재적으로 강하게 반가역적 감소를 갖는 0차 벡터 번들의 범주가 아벨이자 중립 Tannaka 카테고리임을 증명하며, Narasimhan–Seshadri 이론의 p진 해석을 제시한다. 또한 Weil의 유한 에테일 코버에서 자명화되는 다발에 대한 특성화를 이용해 Tannaka 쌍대군의 연결 성분군을 계산한다.

ABSTRACT

We prove that a category of degree zero vector bundles with "potentially strongly semistable reduction" on a p-adic curve is a neutral Tannakian category. We also make a first study of the corresponding affine group scheme. In particular, we determine its group of connected components using a theorem of Weil.

연구 동기 및 목표

• DW2에서 제기한 열린 문제인, 잠재적으로 강하게 반가역적 감소를 갖는 0차 다발의 범주가 아벨인지 여부를 해결하기 위해.
• 이 범주가 중립 Tannaka 카테고리임을 증명하여 Tannaka dual을 가능하게 하기 위해.
• 이 범주의 Tannaka 쌍대군의 연결 성분군을 계산하기 위해.
• 유한 에테일 코버에서 자명화되는 다발에 대한 Weil의 특성화를 적용하여 Tannaka 쌍대군의 구조를 분석하기 위해.
• 특히 Picard 군의 코어에 대한 관계에서 Tannaka 쌍대군의 아벨화 및 프로-토랄 성분의 구조를 탐색하기 위해.

제안 방법

• p진 곡선 위의 0차 벡터 번들의 잠재적으로 강하게 반가역적 감소를 갖는 범주 $\mathfrak{B}^{ps}$를 정의한다.
• Frobenius pullback의 성질과 반가역성의 성질을 이용하여 $\mathfrak{B}^{ps}$가 아벨임을 증명하고, 따라서 중립 Tannaka 카테고리임을 확립한다.
• Tannaka dual을 적용하여 $\mathfrak{B}^{ps}$에 대해 프로대수군 $G$를 부여하고, 그 중성 성분을 $G^{0}$로 표기한다.
• Weil의 결과를 활용하여, 유한 에테일 코버에서 자명화되는 다발이 $\mathbb{Z}$ 위에서 다항식 방정식을 만족함을 이용해 $\pi_0(G)$, 즉 연결 성분군을 계산한다.
• 직접 극한을 통한 $ \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors} $를 통해 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $의 아벨화를 분석하여, 이것이 프로토루스임을 보인다.
• Tannaka 함자의 완전성에 기반해, 다발 $E$에 대한 Tannaka 쌍대군 $G_E$를 단일화된 단어의 표현 $\rho_{E,x}$의 아핀 폐쇄와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p진 곡선 위의 잠재적으로 강하게 반가역적 감소를 갖는 0차 다발의 범주 $\mathfrak{B}^{ps}$는 아벨인가?
• RQ2 Tannaka 쌍대군 $\mathfrak{B}^{ps}$의 구조, 특히 연결 성분군의 구조는 어떠한가?
• RQ3 유한 에테일 코버에서 자명화되는 다발에 대한 Weil의 기준은 $\mathfrak{B}^{ps}$의 Tannaka 쌍대군과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 범주 $\mathfrak{B}^{ps}$에 속한 다발과 관련된 Tannaka 쌍대군과 모노드로미 표현 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 Tannaka 쌍대군의 아벨화 및 단순 부분군은 기저 곡선과 그 Picard 군의 기하학적 성질을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 범주 $\mathfrak{B}^{ps}$는 아벨이므로 중립 Tannaka 카테고리이며, [DW2]에서 제기된 열린 문제를 해결한다.
• Tannaka 쌍대군 $G^{ps}_{\mathrm{red}}$의 연결 성분군 $\pi_0(G^{ps}_{\mathrm{red}})$는 Weil의 다항식 방정식 기준을 통해 $\varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors}$ 와 동형임을 계산한다.
• 중성 성분의 최대 아벨 몫 $ (G^{0})^{\mathrm{ab}} $는 $ \varinjlim_{X'} \mathrm{Pic}^{0}_{X'}({\mathbb{C}}_p)/\mathrm{tors} $를 특성군으로 갖는 프로토루스이며, 이는 토크션-프리이고 나누어지는 성질을 가진다.
• 다발 $E \in \mathfrak{B}^{ps}_{\mathrm{red}}$에 대해 Tannaka 쌍대군 $G_E$는 모노드로미 표현 $\rho_{E,x}$의 아핀 폐쇄를 포함하며, $\rho_{E,x}$가 반가역적일 경우 그와 정확히 일치한다.
• Tannaka 쌍대군 $G^{0}$는 $C \cdot (G^{0}, G^{0})$로 분해되며, 여기서 $C$는 프로토루스이고 $ (G^{0}, G^{0}) $는 프로반가역적이다. 이때 $X(C) \cong X((G^{0})^{\mathrm{ab}}) \oplus X(H)$ 는 비표준적으로 동형이다.
• 만약 $X$가 타원 곡선이라면 $ (G,G^{0}) = (G^{0},G^{0}) $ 이지만, $g(X) \geq 2$ 인 경우 $ (G,G^{0})/(G^{0},G^{0}) $는 비자명한 프로토루스를 포함하며, 이는 Picard 군의 무한차원성과 관련이 있다.