[논문 리뷰] On Tensorial Concomitants and the Non-Existence of a Gravitational Stress-Energy Tensor

Erik Curiel|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 23.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 자연스러운 물리적 및 기하학적 조건 하에 국소적 중력 스트레스-에너지 텐서가 존재할 수 없음을 엄밀하게 증명한다. 미분기하학과 임펄스 번들의 이론을 사용하여, 임의의 후보 텐서는 메트릭의 동차 공함수여야 하며, 이러한 텐서—에인슈타인 텐서와 같은—는 시공간 곡률이 비영이지만 여전히 영이 될 수 있음을 보여주며, 이는 국소화된 중력 에너지를 나타내기에 부적절하다.

ABSTRACT

The question of the existence of gravitational stress-energy in general relativity has exercised investigators in the field since the inception of the theory. Folklore has it that no adequate definition of a localized gravitational stress-energetic quantity can be given. Most arguments to that effect invoke one version or another of the Principle of Equivalence. I argue that not only are such arguments of necessity vague and hand-waving but, worse, are beside the point and do not address the heart of the issue. Based on a novel analysis of what it may mean for one tensor to depend in the proper way on another, I prove that, under certain natural conditions, there can be no tensor whose interpretation could be that it represents gravitational stress-energy in general relativity. It follows that gravitational energy, such as it is in general relativity, is necessarily non-local. Along the way, I prove a result of some interest in own right about the structure of the associated jet bundles of the bundle of Lorentz metrics over spacetime.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 국소화된 중력 스트레스-에너지 텐서가 존재할 수 있는지 여부에 대한 오랫동안 남아있던 문제를 해결하기 위해.
• 등가원리에 기반한 모호한 힌트적 추론을 넘어서, 중력 에너지의 비국소성에 대한 엄밀한 기하학적 기초를 마련하기 위해.
• 중력 스트레스-에너지 텐서가 존재할 수 있는 정확한 수학적 조건을 설정하고, 이러한 조건을 만족하는 것이 전혀 없음을 보여주기 위해.
• 일반 상대성 이론에서 에너지-모멘텀 표현의 맥락에서 곡률과 텐서 공함수의 역할을 명확히 하기 위해.
• 중력 에너지가 존재한다면, 기하학적 번들과 텐서 불변량의 구조에 기반해 본질적으로 비국소적이어야 한다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 시공간 위의 로렌츠 메트릭 번들의 기하학적 구조와 그 관련된 첫 번째 및 두 번째 임펄스 번들을 분석한다.
• 미분기하학을 사용하여 메트릭과 그 도함수에 기능적으로 및 공변적으로 의존하는 텐서 공함수 이론을 적용한다.
• 로벨록의 정리와 동차 공함수의 분류를 사용하여, 메트릭의 두 번째 차수, 대칭, 발산이 없는, 무게가 0인 모든 가능한 공함수를 식별한다.
• 물리적 조건을 적용: 리만 곡률이 비영일 때 비영이어야 하며, 물질 스트레스-에너지가 영일 때 발산이 0이어야 한다.
• 유일한 그러한 공함수는 상수 배수의 에인슈타인 텐서뿐이며, 이는 비틀림이 있는 와일 곡률이 존재하는 경우에도 영일 수 있음을 이용한다.
• 타당한 중력 스트레스-에너지 텐서는 비틀림이 있는 곡률이 존재하는 시공간, 예를 들어 순수 중력파를 지닌 진공 시공간에서 영이 되어서는 안 된다는 원리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 메트릭으로부터 유도할 수 있는 국소적, 대칭적, 두 번째 차수, 발산이 없는 텐서를 구성할 수 있는가? 이는 중력 스트레스-에너지의 표현이 될 수 있는가?
• RQ2 등가원리에 기반한 전통적인 추론은 왜 중력 에너지의 비국소성을 엄밀히 정당화하지 못하는가?
• RQ3 중력 에너지를 표현할 수 있는 메트릭의 텐서 공함수에 대한 수학적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 물질 스트레스-에너지가 영일 때도 비영이어야 하고, 곡률이 있는 시공간에서 비영이어야 하는 조건을 만족하는 잠재적 텐서 대상이 존재하는가?
• RQ5 메트릭 번들의 임펄스 번들의 구조는 중력 에너지 텐서의 존재를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 리만 텐서가 비영일 때 비영이면서, 물질 스트레스-에너지가 영일 때 공변 발산이 0인 두 계량, 대칭, 두 번째 차수, 동차 공함수로 구성된 메트릭은 존재하지 않는다.
• 유일한 그러한 공함수는 상수 배수의 에인슈타인 텐서뿐이며, 이는 비틀림이 있는 와일 곡률이 존재하는 경우에도 영일 수 있다.
• 따라서 에인슈타인 텐서는 중력 스트레스-에너지의 표현으로 부적절하며, 진공 시공간에서 순수 중력파를 감지하지 못한다.
• 일반 상대성 이론에서 중력 에너지는 필연적으로 비국소적이며, 필요한 물리적 및 기하학적 조건을 만족하는 국소적 텐서 표현이 존재하지 않기 때문이다.
• 분석은 모든 알려진 중력 에너지 표현이 비텐서적이고 적분적 성격을 띤다는 것을 확인하며, 일반 상대성 이론에서 오랫동안 널리 알려진 전통과 일치한다.
• 이 논문은 엄밀한 기하학적 결과를 수립한다: 가능한 후보들은 리만 곡률 텐서의 공함수뿐이며, 그 중에서도 요구 조건을 만족하는 것은 아무것도 없다.